Известно, что численными приближенными методами производная функции в заданной точке может быть вычислена с использованием формулы конечных разностей. Выражение для вычисления производной функции одной переменной в точке х k записанное в конечных разностях, имеет вид

где Δх – очень малая конечная величина.

При достаточно малых значениях Δх, можно с приемлемой точностью получить величину производной функции в точке. Для вычисления производной в MS Excel будем использовать приведенную выше формулу. Рассмотрим технологию вычисления производной на примере .

Пример 1.18 Найти производную функции у = 2х 3 + х 2 в точке х=3. Заметим, что производная приведенной функции в точке х=3, вычисленная аналитическим методом, равна 60 - это значение нам понадобится для проверки результата, полученного путем вычисления численным методом.

Задачу вычисления производной в табличном процессоре можно решать двумя способами.

Решение первым способом

Введем в ячейку рабочего листа формулу правой части заданной функциональной зависимости например в ячейку В2, как показано на рисунке, делая ссылку на ячейку, где будет находиться значение х, например А2,

2*А2 ^ 3+А2 ^ 2.

Зададим окрестность точки х=3 достаточно малого размера, например значение слева х k =2,9999999, а значение справа х k +1 =3,00000001, и введем эти значения в ячейку А2 и А3 соответственно. В ячейку С2 введем формулу вычисления производной =(В3-В2)/(А3-А2).

В результате вычисления в ячейку С2 будет выведено приближенное значение производной заданной функции в точке х=3, величина которой равна 60, что соответствует результату, полученному аналитически (рис.1.24).

Решение вторым способом

Введем в ячейку рабочего листа А2 заданное значение аргумента, равное 3, в ячейке В2 укажем достаточно малое приращение аргумента - (1E - 9), в ячейку С2 введем формулу для вычисления производной

=(2*(А2+В2) ^ 3+(А2+В2) ^ 2-(2*А2 ^ 3+А2 ^ 2))/В2.

После нажатия клавиши получим результат вычисления 60,0000.

Как видим, результат получен такой же, как и при первом способе. Приведенный второй способ является более предпочтительным в случаях, когда нужно построить таблицу значений производной функции для заданных значений аргумента.

Вычисление локальных экстремумов функции

Напомним, что функция Y=f(x) имеет экстремум при значении х = х k если производная функции в этой точке равна нулю.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b] и имеет внутри этого отрезка локальный экстремум, то его можно найти, используя надстройку Excel Поиск решения.

Рассмотрим последовательность нахождения экстремума функции на примере

Пример 1.19 Задана неразрывная функция у = х 2 + х + 2. Требуется найти ее экстремум (минимальное значение) на отрезке [-2; 2].

Решение

В ячейку A3 рабочего листа введем любое число, принадлежащее заданному отрезку, в этой ячейке будет находиться значение х.

В ячейку В3 введем формулу, определяющую заданную функциональную зависимость. Вместо переменной х в этой формуле должна быть ссылка на ячейку А3: =А3^2+A3+2.

Выполним команду меню Сервис/Поиск решения.

В открывшемся окне диалога Поиск решения в поле Установить целевую ячейку укажем адрес ячейки, содержащей формулу (В3), установим переключатель Минимальному значению, в поле Измени ячейки укажем адрес ячейки, в которой содержится переменная х-A3.

Добавим два ограничения в соответствующее поле: A3 > = - 2 и A3<=2 (рис. 1.25).

Щелкнем на кнопке Параметры и в открывшемся диалоговом окне параметры поиска решения установим относительную погрешность вычислений и предельное число итераций.

Щелкнем на кнопке Выполнить. В ячейке А3 будет вычислено значение аргумента х функции, при котором она принимает минимальное значение, а в ячейке В3 – минимальное значение функции.

В результате выполнения вычислений в ячейке А3 будет получено значение независимой переменной, при котором функция принимает наименьшее значение -0,5, а в ячейке В3 – минимальное значение, равное 1,75.

Построим график заданной функции и убедимся, что решение уравнения найдено, верно.

Примечание. В частном случае при нахождении локального экстремума с использованием рассмотренной технологии, можно получить значение, которое не является экстремумом, а просто является минимумом или максимумом функции в заданном диапазоне изменения аргумента.

Поэтому необходима дополнительная проверка, т.е. вычисление производной функции в найденной точке.

Используя приведенную технологию численного вычисления производной функции в заданной точке, проверим, является ли найденная точка х = -0,5 точкой экстремума функции у = х 2 + х + 2. Решение приведено на рисунке.

Как видно, производная в найденной точке равна нулю, следовательно, найденное значение функции является ее экстремальным значением.

Пример 1.20 Требуется найти значения аргумента в диапазоне [-1; 1], при которых функция у = х 2 + х + 2 имеет экстремумы.

Решение

Табулируем заданную функцию с шагом 0,2.

Применяя второй из приведенных способов вычисления производной, вычислим значения функции у = f(x + dx).

Вычислим значения производной при каждом табличном значении аргумента.

Анализируя полученные значения производных функции в точках, находим, что производная меняет знак в интервале значений аргумента (-0,6;-0,4), следовательно, на этом интервале есть точка экстремума. Кроме того, заметим, что знак производной меняется с минуса на плюс, следовательно, точка экстремума является минимумом функции.

Применяя инструмент Подбор параметра или Поиск решения для решения уравнения Y(x) = 0

относительно х, вычислим точное значение аргумента, при котором исходная функция принимает экстре малыше значение (-0,5) (рис. 1.26).

Полученное значение производной исследуемой функции в точке х =-0,5 равно нулю, следовательно, в этой точке функция имеет экстремум.

Для решения многих инженерных задач часто требуется вычисление производных. Когда есть формула, описывающая процесс, сложностей никаких нет: берем формулу и вычисляем производную, как учили еще в школе, находим значения производной в разных точках, и всё. Сложность, наверное, только в этом и состоит, чтобы вспомнить, как вычислять производные. А как быть, если у нас есть только несколько сотен или тысяч строк с данными, а никакой формулы нет? Чаще всего именно так на практике и бывает. Предлагаю два способа.

Первый заключается в том, что мы наш набор точек аппроксимируем стандартной функцией Excel, то есть подбираем функцию, которая лучше всего ложится на наши точки (в Excel это линейная функция, логарифмическая, экспоненциальная, полиномиальная и степенная). Второй способ – численное дифференцирование, для которого нам нужно будет только умение вводить формулы.

Вспомним, что такое производная вообще:

Производной функции f (x) в точке x называется предел отношения приращения Δf функции в точке x к приращению Δx аргумента, когда последнее стремится к нулю:

Вот и воспользуемся этим знанием: будем просто брать для расчета производной очень маленькие значения приращения аргумента, т.е. Δx.

Для того, чтобы найти приближённое значение производной в нужных нам точках (а у нас точки – это различные значения степени деформации ε) можно поступить вот как. Посмотрим еще раз на определение производной и видим, что при использовании малых значений приращения аргумента Δε (то есть малых приращений степени деформации, которые регистрируются при испытаниях) можно заменить значение реальной производной в точке x 0 (f’(x 0)=dy/dx (x 0)) на отношение Δy/Δx=(f (x 0 + Δx) – f (x 0))/Δx.

То есть вот что получается:

f’(x 0) ≈(f (x 0 + Δx) – f (x 0))/Δx (1)

Для вычисления этой производной в каждой точке мы производим вычисления с использованием двух соседних точек: первая с координатой ε 0 по горизонтальной оси, а вторая с координатой x 0 + Δx, т.е. одна – производную в которой вычисляем и та, что поправее. Вычисленная таким образом производная называется разностной производной вправо (вперед) с шагом Δ x .

Можем поступить наоборот, взяв уже другие две соседние точки: x 0 — Δx и x 0 , т.е интересующую нас и ту, что левее. Получаем формулу для вычисления разностной производной влево (назад) с шагом — Δ x .

f’(x 0) ≈(f (x 0) – f (x 0 — Δx))/Δx (2)

Предыдущие формулы были «левые» и «правые», а есть еще одна формула, которая позволяет вычислять центральную разностною производную с шагом 2 Δx, и которая чаще других используется для численного дифференцирования:

f’(x 0) ≈(f (x 0 + Δx) – f (x 0 — Δx))/2Δx (3)

Для проверки формулы рассмотрим простой пример с известной функцией y=x 3 . Построим таблицу в Excel с двумя с столбцами: x и y, а затем построим график по имеющимся точкам.

Производная функции y=x 3 это y=3x 2 , график которой, т.е. параболу, мы и должны получить с использованием наших формул.

Попробуем вычислить значения центральной разностной производной в точках х. Для этого. В ячейке второй строки нашей таблицы забиваем нашу формулу (3), т.е. следующую формулу в Excel:

Теперь строим график с использованием уже имеющихся значений х и полученных значений центральной разностной производной:

А вот и наша красненькая парабола! Значит, формула работает!

Ну а теперь можем перейти к конкретной инженерной задаче, про которую говорили в начале статьи – к нахождению изменения dσ/dε с увеличением деформации. Первая производная кривой «напряжение-деформация» σ=f (ε) в зарубежной литературе называется «скорость упрочнения» (strain hardening rate),а в нашей – «коэффициент упрочнения». Итак, в результате испытаний мы имеем массив данных, которой состоит из двух столбцов: один — со значениями деформаций ε и другой – со значениями напряжений σ в МПа. Возьмем холодную деформацию стали 1035 или наша 40Г (см. таблицу аналогов сталей) при 20°С.

Вот наша кривая в координатах «истинное напряжение — истинная деформация» σ-ε:

Действуем так же, как и в предыдущем примере и получаем вот такую кривую:

Это и есть изменение скорости упрочнения по ходу деформации. Что с ней делать, это уже отдельный вопрос.

Графическое дифференцирование начинают с построения графика функции по заданным значениям. При экспериментальном исследовании такой график получают с помощью самопишущих приборов. Далее проводят касательные к кривой в фиксированных положениях и вычисляют значения производной по тангенсу угла, образованного касательной с осью абсцисс.

На рис. 5.8, а изображена кривая полученная экспериментально на установке (рис. 5.6). Определение углового ускорения (искомой функции) проводят графическим дифференцированием по соотношению:

(5.19)

Тангенс угла наклона касательной к кривой в некоторой точке i представляют в виде отношения отрезков , где К – выбранный отрезок интегрирования (рис. 5.8, б )

После подстановки этого соотношения в соотношение (5.19) полу­чают

где - ордината искового графика углового ускорения;

Масштаб искомого графика ; единицы СИ: = мм; = мм/(рад с -2).

График функции строят по найденным значениям орди­нат для ряда позиций. Точки на кривой соединяют от руки плавной линией, а затем обводят с помощью лекала.

Графическое дифференцирование рассмотренным методом каса­тельных имеет относительно низкую точность. Более высокую точность получают при графическом диф­ференцировании методом хорд (рис. 5.8, в и г ).

Остальные построения аналогичны ранее описанным при графи­ческом дифференцировании методом касательных. Выбирают отре­зок (мм); проводят лучи, наклоненные под углами до пересечения с осью ординат в точках 1 ", 2 ", 3 " ... , которые переносят на ординаты, проведенные в середине каждого из интервалов. Полученные точки 1 *, 2 *, 3 * являются точками иско­мой функции .

Масштабы по осям координат при этом методе построения свя­заны таким же соотношением (5.21), которое было выведено для случая графического дифференцирования методом касательных.

Дифференцирование функции f(x) , заданной (либо вычисленной) в виде массива чисел, выполняют методом численного дифферен­цирования с применением ЭВМ.

Чем меньше шаг в массиве чисел, тем точнее можно вычис­лить значение производной функции в этом интервале

Пример 3 : Отобрать с помощью автофильтра студентов, обучающихся в группе № 5433 с фамилией, начинающейся на букву С .

Последовательность действий

1. Скопировать базу данных (рис. 30) на Лист 3.

2. Фамилия .

3. Выбрать из списка пункт Текстовые фильтры → Настраиваемый фильтр . В появившемся окне Пользовательский автофильтр выбрать критерий отбора начинается с , в поле напротив ввести нужную букву (проверить, чтобы раскладка была русскоязычная). Нажать ОК .

4. Открыть раскрывающийся список в столбце № группы .

5. Выбрать нужный номер.

Фильтрация записей в базе данных с помощью расширенного фильтра

Расширенный фильтр позволяет отыскивать строки с помощью более сложных критериев, по сравнению с пользовательскими автофильтрами. Расширенный фильтр использует для фильтрации данных интервал критериев.

При использовании расширенного фильтра имена столбцов, по которым задаются условия, копируются ниже исходной таблицы. Под названиями столбцов вносятся критерии отбора. После применения фильтра на экране могут отображаться только те строки, которые удовлетворяют указанному критерию, а также отфильтрованные данные могут копироваться на другой лист или в другую область на том же рабочем листе.

Пример 4 : Выбрать всех студентов из группы № 5433 , у которых средний балл больше либо равен 4,5 .

Последовательность действий

1. Скопировать базу данных (рис. 30) на Лист 4.

2. Скопировать названия столбцов № группы и средний балл

в область ниже исходной таблицы. Под названиями столбцов ввести нужные критерии отбора (рис. 32)

Рис. 32. Окно Excel с расширенным фильтром

2. На вкладке Данные на панели инструментов Сортировка

и фильтр выбрать пункт Дополнительно . Появится диалоговое окно (рис. 33), в котором указываются диапазоны данных.

Рис. 33. Окно расширенного фильтра

В поле ввода Исходный диапазон указывается интервал, содержащий исходную базу данных. В нашем случае выделяется диапазон ячеек с А1 по I9 .

В поле ввода Диапазон условий выделяется интервал ячеек на рабочем листе, который содержит требуемые критерии (С12:D13 ).

В поле ввода Поместить результат в диапазон указывается интервал, в который копируются строки, удовлетворяющие кри-

териям. В нашем случае указывается ячейка ниже области критериев, например А16 . Это поле доступно только в том случае, когда выбран переключатель Скопировать результат в другое место .

Флажок Только уникальные записи предназначен для отображения только неповторяющихся строк.

Результирующая таблица, удовлетворяющая критериям фильтрации, представлена на рис. 34.

Рис. 34. Окно Excel с результатами фильтрации

1. Создать свою базу данных, количество записей в которой должно быть не менее 15, а количество столбцов – не менее 6. Например, база данных Список клиентов (рис. 35).

2. К базе данных применить три автофильтра (на отдельных листах). Количество критериев должно быть не менее двух.

3. Применить три расширенных фильтра к записям базы данных, каждый из которых должен содержать не менее двух критериев. Все расширенные фильтры разместить на одном листе под исходной таблицей.

Рис. 35. Окно Excel с базой данных Список клиентов

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5

Численное дифференцирование и простейший анализ функций

Цель работы : Исследовать функцию на экстремум, научиться определять критическую точку.

Из курса математики известно, что формула производной в общем виде выглядит так:

где Δx – приращение аргумента; x – число, стремящееся к нулю. С помощью производной можно определить критические точки функции – минимумы, максимумы или перегибы. Если значение производной функции при каком-либо значении x равно нулю, то при этом значении x функция имеет критическую точку.

Пример 1 : Функция f x = x 2 + 2x 3 задана на интервале x 5;5 . Исследовать поведение функции f(x) .

Последовательность действий

1. Пусть Δx = 0,00001. В ячейку A1 ввести: šDx=Ÿ (рис. 36). Выделить букву D, щёлкнуть правой кнопкой мыши по выделенной букве, выбрать Формат ячеек. На вкладке Шрифт выбрать шрифт Symbol . Буква D превратится в греческую букву ѓў. Выравнивание в ячейке можно сделать по правому краю. В ячейку B1 внести значение 0,00001.

2. В ячейках с А2 по F2 оформить šшапкуŸ таблицы, как показано на рис. 36.

3. В столбце A , начиная с третьей строки, будут содержаться значения x . В ячейки с A3 по A13 ввести значения от –5 до 5.

4. В ячейке B3 записать формулу =A3^2+2*A3-3 и растянуть её до конечного значения x (до 13-й строки).

5. Чтобы определить производную функции и вычислить её значения на заданном интервале, необходимо сделать промежу-

точные вычисления. В ячейку С3 ввести формулу суммы аргумента x и его приращения Δx . Формула имеет вид: =A3+$B$1 . Растянуть её значение до конечного значения аргумента x .

Рис. 36. Окно Excel с исследованием поведения функции

6. В ячейку D3 записать формулу =C3^2+2*C3-3 , по которой вычисляется значение функции f от аргумента x Δx . Растянуть получившееся значение до конечного значения аргумента.

7. В ячейку E3 записать формулу производной (1), учитывая, что значения f x находятся в B3 , а значения f x + Δx в D3 .

Формула будет иметь вид: =(D3-B3)/$B$1 .

8. Определить поведение функции на заданном промежутке (возрастает, убывает или имеется критическая точка). Для этого необходимо в ячейку F3 самостоятельно записать формулу для определения поведения функции. Формула содержит три условия:

9. Построить графики по значениям f x и f" (x) . На графике (рис. 37) видно, что если значение производной функции равно нулю, то в этом месте у функции критическая точка.

* Из-за слишком большой погрешности вычислений, значение f"(x) может не быть равным 0. Но описать эту ситуацию всё равно необходимо.

Рис. 37. Диаграмма исследования поведения функции

Задания для самостоятельной работы

Функция f(x) задана на интервале x . Исследовать поведение функции f(x) . Построить графики.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6

Построение касательной к графику функции

Цель работы : Освоить вычисление значений уравнения касательной к графику функции в точке x 0 .

Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке

Пример 1 : Функция y = x 2 + 2x 3 задана на интервале x [ 5; 5 ] . Построить касательную к графику этой функции в точке x 0 = 1.

Последовательность действий:

1. Продифференцировать численно эту функцию (см. Лабораторную работу №5). Таблица исходных данных показана на рис. 38.

Рис. 38. Таблица исходных данных

2. Определить в таблице местоположение x , x 0 , f(x 0 ) и f" (x 0 ) . Очевидно, что в качестве x будут выступать значения из

столбца A , начиная с третьей строки (рис. 38). Если x 0 = 1, то в качестве x 0 будет выступать ячейка A9 . Соответственно, значение функции f в точке x 0 находится в ячейке B9 , а значение f" (x 0 )

– в ячейке E9 .

3. В столбце F рассчитывается уравнение касательной к графику функции f(x). При расчёте уравнения (1) необходимо, чтобы значения x 0 , f(x 0 ) и f" (x 0 ) не изменялись. Поэтому в напи-

сании адреса ячеек A9 , B9 и E9 нужно использовать абсолютные ссылки на эти ячейки. Фиксация ячеек производится с помощью знака š$Ÿ. Ячейки будут иметь вид: $A$9 , $B$9 и $E$9 .

Рис. 39. График функции f(x) и касательная к графику в точке x=1

Задания для самостоятельной работы

Функция f(x) определена на интервале x . Рассчитать уравнение касательной. Построить касательную к графику функции в заданной точке.

1. Веденеева, Е. А. Функции и формулы Excel 2007. Библиотека пользователя / Е. А. Веденеева. – СПб.: Питер, 2008. – 384 с.

2. Свиридова, М. Ю. Электронные таблицы Excel / М. Ю. Свиридова. – М.:Academia, 2008. – 144 с.

3. Серогодский, В. В. Графики, вычисления и анализ данных

в Excel 2007 / В. В. Серогодский, Р. Г. Прокди, Д. А. Козлов, А. Ю. Дружинин. – М.: Наука и техника, 2009. – 336 с.