Решение неравенства с двумя переменными , а тем более системы неравенств с двумя переменными , представляется достаточно сложной задачей. Однако есть простой алгоритм, который помогает легко и без особых усилий решать на первый взгляд очень сложные задачи такого рода. Попробуем в нем разобраться.

Пусть мы имеем неравенство с двумя переменными одного из следующих видов:

y > f(x); y ≥ f(x); y < f(x); y ≤ f(x).

Для изображения множества решений такого неравенства на координатной плоскости поступают следующим образом:

1. Строим график функции y = f(x), который разбивает плоскость на две области.

2. Выбираем любую из полученных областей и рассматриваем в ней произвольную точку. Проверяем выполнимость исходного неравенства для этой точки. Если в результате проверки получается верное числовое неравенство, то заключаем, что исходное неравенство выполняется во всей области, которой принадлежит выбранная точка. Таким образом, множеством решений неравенства – область, которой принадлежит выбранная точка. Если в результате проверки получается неверное числовое неравенство, то множеством решений неравенства будет вторая область, которой выбранная точка не принадлежит.

3. Если неравенство строгое, то границы области, то есть точки графика функции y = f(x), не включают в множество решений и границу изображают пунктиром. Если неравенство нестрогое, то границы области, то есть точки графика функции y = f(x), включают в множество решений данного неравенства и границу в таком случае изображают сплошной линией.
А теперь рассмотрим несколько задач на эту тему.

Задача 1.

Какое множество точек задается неравенством x · y ≤ 4?

Решение.

1) Строим график уравнения x · y = 4. Для этого сначала преобразуем его. Очевидно, что x в данном случае не обращается в 0, так как иначе мы бы имели 0 · y = 4, что неверно. Значит, можем разделить наше уравнение на x. Получим: y = 4/x. Графиком данной функции является гипербола. Она разбивает всю плоскость на две области: ту, что между двумя ветвями гиперболы и ту, что снаружи их.

2) Выберем из первой области произвольную точку, пусть это будет точка (4; 2).
Проверяем неравенство: 4 · 2 ≤ 4 – неверно.

Значит, точки данной области не удовлетворяют исходному неравенству. Тогда можем сделать вывод о том, что множеством решений неравенства будет вторая область, которой выбранная точка не принадлежит.

3) Так как неравенство нестрогое, то граничные точки, то есть точки графика функции y = 4/x, рисуем сплошной линией.

Закрасим множество точек, которое задает исходное неравенство, желтым цветом (рис. 1).

Задача 2.

Изобразить область, заданную на координатной плоскости системой
{ y > x 2 + 2;
{y + x > 1;
{ x 2 + y 2 ≤ 9.

Решение.

Строим для начала графики следующих функций (рис. 2) :

y = x 2 + 2 – парабола,

y + x = 1 – прямая

x 2 + y 2 = 9 – окружность.

1) y > x 2 + 2.

Берем точку (0; 5), которая лежит выше графика функции.
Проверяем неравенство: 5 > 0 2 + 2 – верно.

Следовательно, все точки, лежащие выше данной параболы y = x 2 + 2, удовлетворяют первому неравенству системы. Закрасим их желтым цветом.

2) y + x > 1.

Берем точку (0; 3), которая лежит выше графика функции.
Проверяем неравенство: 3 + 0 > 1 – верно.

Следовательно, все точки, лежащие выше прямой y + x = 1, удовлетворяют второму неравенству системы. Закрасим их зеленой штриховкой.

3) x 2 + y 2 ≤ 9.

Берем точку (0; -4), которая лежит вне окружности x 2 + y 2 = 9.
Проверяем неравенство: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 – неверно.

Следовательно, все точки, лежащие вне окружности x 2 + y 2 = 9, не удовлетворяют третьему неравенству системы. Тогда можем сделать вывод о том, что все точки, лежащие внутри окружности x 2 + y 2 = 9, удовлетворяют третьему неравенству системы. Закрасим их фиолетовой штриховкой.

Не забываем о том, что если неравенство строгое, то соответствующую граничную линию следует рисовать пунктиром. Получаем следующую картинку (рис. 3) .

(рис. 4) .

Задача 3.

Изобразить область, заданную на координатной плоскости системой:
{x 2 + y 2 ≤ 16;
{x ≥ -y;
{x 2 + y 2 ≥ 4.

Решение.

Строим для начала графики следующих функций:

x 2 + y 2 = 16 – окружность,

x = -y – прямая

x 2 + y 2 = 4 – окружность (рис. 5) .

Теперь разбираемся с каждым неравенством в отдельности.

1) x 2 + y 2 ≤ 16.

Берем точку (0; 0), которая лежит внутри окружности x 2 + y 2 = 16.
Проверяем неравенство: 0 2 + (0) 2 ≤ 16 – верно.

Следовательно, все точки, лежащие внутри окружности x 2 + y 2 = 16, удовлетворяют первому неравенству системы.
Закрасим их красной штриховкой.

Берем точку (1; 1), которая лежит выше графика функции.
Проверяем неравенство: 1 ≥ -1 – верно.

Следовательно, все точки, лежащие выше прямой x = -y, удовлетворяют второму неравенству системы. Закрасим их синей штриховкой.

3) x 2 + y 2 ≥ 4.

Берем точку (0; 5), которая лежит вне окружности x 2 + y 2 = 4.
Проверяем неравенство: 0 2 + 5 2 ≥ 4 – верно.

Следовательно, все точки, лежащие вне окружности x 2 + y 2 = 4, удовлетворяют третьему неравенству системы. Закрасим их голубым цветом.

В данной задаче все неравенства нестрогие, значит, все границы рисуем сплошной линией. Получаем следующую картинку (рис. 6) .

Искомая область – это область, где все три раскрашенных области пересекаются друг с другом (рис 7) .

Остались вопросы? Не знаете, как решить систему неравенств с двумя переменными?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

1. Неравенства с двумя переменными. Способы решения системы двух неравенств с двумя переменными: аналитический способ и графический способ.

2. Системы двух неравенств с двумя переменными: запись результата решения.

3. Совокупности неравенств с двумя переменными.

НЕРАВЕНСТВА И СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕН­НЫМИ. Предикат вида f₁(х, у)>< f 2 (х, у), хÎХ, уÎ У, где f₁(х, у) и f 2 (х, у) - выраже­ния с переменными х и у, определенные на множестве ХхУ называется неравенст­вом с двумя переменными (с двумя неизвестными) х и у. Ясно, что любое нера­венство вида с двумя переменными можно записать в виде f(х, у) > 0, хÎХ, уÎ У. Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений пере­менных, обращающая неравенство в верное числовое неравенство. Известно, что пара действительных чисел (х, у) однозначно определяет точку координатной плос­кости. Это дает возможность изобразить решения неравенства или системы нера­венств с двумя переменными геометрически, в виде некоторого множества точек коорди­натной плоскости. Если уравнение.

f(х, у) = 0 определяет некоторую линию на координат­ной плоскости, то множество точек плоско­сти, не лежащих на этой линии, состоит из конечного числа областей С₁, С 2 , ..., С п (рис. 17.8). В каждой из областей С, функция f(х, у) отлична от нуля, т.к. точки, в которых f(х, у) = 0 принадлежат границам этих областей.

Решение. Преобразуем неравенство к виду х > у 2 + 2у - 3. Построим на координат­ной плоскости параболу х = у 2 + 2у - 3. Она разобьет плоскость на две области G₁ и G 2 (рис. 17.9). Так как абсцисса любой точки, лежащей правее параболы х = у 2 + 2у - 3, больше, чем абсцисса точки, имеющей ту же ординату, но лежащей на параболе, и т.к. неравенство х>у г + 2у -3 нестрогое, то геометрическим изображением решений данно­го неравенства будет множество точек плоскости, лежащих на параболе х = у 2 + 2у - 3 и правее нее (рис. 17.9).

Рис. 17.10

Пример 17.15. Изобразите на координатной плоскости множество решений систе­мы неравенств

у > 0,

ху > 5,

х + у <6.

Решение. Геометрическим изображением решения системы неравенств х > 0, у > 0 является множество точек первого координатного угла. Геометрическим изображением решений неравенства х + у < 6 или у < 6 - х является множество точек, лежащих ниже прямой и на самой прямой, служащей графиком функции у = 6 - х. Геометрическим изображением решений неравенства ху > 5 или, поскольку х > 0 неравенства у > 5/х является множество точек, лежащих выше ветви гиперболы, служащей графиком функ­ции у = 5/х. В итоге получаем множество точек координатной плоскости, лежащих в первом координатном углу ниже прямой, служащей графиком функции у = 6 - х, и выше ветви гиперболы, служащей графиком функции у = 5х (рис. 17.10).

Глава III. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И НУЛЬ

Неравенства, содержащие переменную, занимают основную долю в общем объеме изучения темы «Неравенства» школьной программы математики и алгебры. Данная статья содержит базовый материал: определение понятия неравенства с переменными и их решений, способ записи решений неравенств. Также для наглядности приведем решение практических задач.

Определение неравенств с переменными

Числовые неравенства мы разобрали в соответствующей статье, выяснив что числовыми неравенствами являются два числовых выражения, между которыми располагается какой-либо из знаков неравенства. Заменив хотя бы одно из числовых выражений выражением с переменной, мы получим неравенство с переменными. Такое определение дано по виду записи подобных неравенств. Выделяют неравенства с одной, двумя, тремя и большим количеством переменных по числу переменных, использующихся в записи неравенства.

Неравенства с одной переменной

Неравенство с одной переменной – это неравенство, в записи которого используется одна переменная.

К примеру, k < 7 – неравенство с одной переменной k ; 8 ≥ d 2 – 3 – неравенство с одной переменной d . При этом возможно, что переменная будет участвовать в записи несколько раз, например:

((2 · x - 5 · t 2) · (t - 1) < 1 t или t - 1 + 4 ≥ 1 t - t 3 t + 3

Неравенства с двумя переменными

Неравенство с двумя переменными – этонеравенство, в записи которого используются две неодинаковые переменные.

Например, m 3 + 1 5 · n 2 > 13 – неравенство с двумя переменными m и n ;

(f + 2 · g) 3 7 + 3 < 7 - f f 2 + 1 – неравенство с двумя переменными f и g .

По записи неравенства с двумя переменными схожи с неравенствами с параметром и одной переменной. Но тогда, как правило, в условиях всегда указывается, какие буквы служат обозначением параметров, поэтому вопрос о том, сколько переменных в заданном неравенстве, обычно не возникает.

Неравенства с тремя или больше переменными

Неравенства с тремя, четырьмя и т.д. переменными – это неравенства, в записи которых используются три, четыре и т.д. переменных.

В школьной программе подобные неравенства встречаются редко, но тем не менее существуют. Например, шар, радиус которого равен 2 и центр которого совпадает с началом координат, возможно определить неравенством с тремя переменными: x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 .

Решения неравенства: частное, общее и простое решение

Решение неравенства с одной переменной – такое значение переменной, которое обращает исходное неравенство в верное числовое неравенство.

В качестве примера возьмем простое неравенство вида y > 9 . Пусть y = 13 . Подставим это значение в исходное неравенство и получим числовое неравенство 13 > 9 . Оно является верным, а значит 13 является решением исходного неравенства y > 9 . А вот число y = 5 не станет решением данного неравенства, поскольку, подставив такое значение переменной, мы получим неверное числовое неравенство: 5 > 9 .

Логичным следствием является вопрос о возможном количестве решений конкретного неравенства. Отметим, что неравенство с одной переменной может не иметь решений, иметь конечное количество решений или иметь бесконечно много решений. Мы рассмотрим это утверждение, имеющее большую значимость в практике, более детально в изучении самого процесса нахождения решений неравенств.

Резюмируем:

• неравенство может не иметь решений. К примеру: z 2 < - 2 . В самом деле, при любом действительном значении переменной z , мы будем иметь неверное числовое неравенство, опираясь на то, что, согласно свойствам степени, квадрат любого числа является неотрицательным числом. Оно, в свою очередь, никак не может быть меньше - 2 .
• неравенство может иметь лишь одно решение. Например, неравенство f = 1 ≤ 0 имеет решение f = 1 , и оно единственно;
• неравенство может иметь конечное количество решений: три, шесть и т.п. Как пример, рассмотрим неравенство | x 2 - 1 | ≤ 0 , решений которого существует ровно два: 1 и - 1 ;
• неравенство может иметь бесконечно много решений. Например: t > 5 . Решением данного неравенства станет любое действительное число, большее 5: 13 , 87 , 601 , 8 2 5 и т.п.

Все вышесказанное верно и для неравенств с двумя, тремя и более переменными.

Определение 5

Решение неравенства с двумя переменными – это пара значений заданных переменных, при которых исходное неравенство с переменными преобразуется в верное числовое неравенство.

В качестве примера рассмотрим неравенство с двумя переменными y и z: y + 1 > 2 · z . Пара значений переменных y и z: 1 и 0 соответственно, являются решением заданного неравенства, поскольку подставив их, мы получим верное числовое неравенство: 1 + 1 > 2 · 0 . В то же время пара значений y = 2 , z = 4 не будет служить решением исходного неравенства: их подстановка создаст неверное числовое неравенство 2 + 1 > 2 · 4 .

Пара значений переменных зачастую записывается в скобках наподобие координат точек в прямоугольной системе координат. Например, для вышеуказанного примера решение запишется так: (1 , 0) .

Все вышесказанное верно и для неравенств с большим количеством переменных.

Определение 6

Решение неравенства с тремя, четырьмя и более переменными – это тройка, четверка и т.п. значений заданных переменных, при которых исходное неравенство преобразуется в верное числовое неравенство.

Например, рассмотрим неравенство с четырьмя переменными a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≤ 36 . Четверка значений этих переменных, такие как: a = 1 , b = 2 , c = 3 , d = 4 , являются решением исходного неравенства, поскольку, подставив их, мы получим верное числовое неравенство: 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 ≤ 36 .

Также рассмотрим такие понятия как «частное решение неравенства» и «общее решение неравенства».

Определение 7

К примеру, 17 – частное решение неравенства m < 101 . Еще одним частным решением указанного неравенства будет число 7 .

Определение 8

Общее решение неравенства – множество всех частных решений исходного неравенства.

Рассмотрим на том же примере: m < 101 . Общим решением этого неравенства будет множество чисел, меньших 101 .

Несмотря на частоту использования указанной терминологии, все же намного чаще применяют понятие решения неравенства без неких уточнений, наделяя при этом смыслом общего решения. В случае, когда необходимо определить отдельное решение, в исходном задании так и указывают.

Навык записи общего решения неравенства нужен для формирования ответа при решении задач. Сначала разберем принятые правила записи на примере решений неравенств с одной переменной.

Напомним, что решение неравенства с одной переменной – это либо число, либо множество чисел, т.е. числовое множество.

Определение 9

Когда равенство не имеет решений , пишут буквально – «нет решений», либо применяют знак пустого множества ∅ .

Когда общее решение – одно число , так его и записывают: 2 , - 1 , 15 ли 8 17 . А также можно заключить его в фигурные скобки.

Когда общее решение – несколько чисел (при этом их немного), нужно либо записать их по очереди, отделив запятой или точкой с запятой, либо – через запятую, заключив в фигурные скобки. Например: 6 , 12 , 4 5 или { 6 , 12 , 4 5 } .

Наконец, когда общее решение включает в себя бесконечно много решений , то применяют общепринятые обозначения множеств натуральных чисел (N) , целых чисел (N) , рациональных чисел (Q) , действительных чисел (R) , а также числовых промежутков, множеств отдельных чисел и т.п. В практике чаще встречаются простейшие неравенства и числовые промежутки. Пусть, решением некоторого неравенства станут: число 3 , полуинтервал (5 ; 9 ] и луч [ 13 ; + ∞) , тогда ответ запишется так: 3 , (5 , 9 ] , [ 13 , + ∞) , или: 3 ꓴ (5 , 9 ] ꓴ [ 13 , + ∞) , или: x = 3 , 5 < x ≤ 9 , x ≥ 13 .

Чтобы записать общее решение неравенства с двумя, тремя и более переменными при небольшом количестве решений, перечисляют их все; либо делают описание множеств переменных. К примеру, d – любое целое число, s равно 0 или 1 , t = - 3 , m = 17 .

Зачастую решение для неравенства с двумя переменными не записывают, а «зарисовывают», изображая решения неравенства на координатной плоскости. Пусть задано неравенство: 2 · х - у ≥ 5 ; его решение – все точки, расположенные на и ниже прямой, определяемой формулой: у = 2 · х - 5 .

Решением неравенства с тремя переменными станет некое множество точек трехмерного пространства.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Если в школьном курсе математики и алгебры отдельно выделить тему «неравенства», то основную часть времени постигаются азы работы с неравенствами , которые содержат в своей записи переменную. В данной статье мы разберем, что такое неравенства с переменными, скажем, что называют их решением, а также разберемся, как записываются решения неравенств. Для пояснения будем приводить примеры и необходимые комментарии.

Навигация по странице.

Что такое неравенства с переменными?

Например, если неравенство не имеет решений, то так и пишут «нет решений» или используют знак пустого множества ∅.

Когда общим решением неравенства является одно число, то его и так и записывают, к примеру, 0 , −7,2 или 7/9 , а иногда еще заключают в фигурные скобки.

Если решение неравенства представляется несколькими числами и их количество невелико, то их просто перечисляют через запятую (или через точку с запятой), или записывают через запятую в фигурных скобках. Например, если общее решение неравенства с одной переменной составляют три числа −5 , 1,5 и 47 , то записывают −5 , 1,5 , 47 или {−5, 1,5, 47} .

А для записи решений неравенств, имеющих бесконечное множество решений используют как принятые обозначения множеств натуральных, целых, рациональных, действительных чисел вида N , Z , Q и R , обозначения числовых промежутков и множеств отдельных чисел, простейшие неравенства, так и описание множества через характеристическое свойство, и все не названные способы. Но на практике наиболее часто пользуются простейшими неравенствами и числовыми промежутками. Например, если решением неравенства является число 1 , полуинтервал (3, 7] и луч , ∪ ; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Часто приходится изображать на координатной плоскости мно-жество решений неравенства с двумя переменными. Решением неравенства с двумя переменными называют пару значений этих переменных, которая обращает данное неравенство в верное числовое неравенство.

2у + Зх < 6.

Сначала построим прямую. Для этого запишем неравенство в виде уравнения 2у + Зх = 6 и выразим y. Таким образом, получим: y=(6-3 x)/2.

Эта прямая раз-бивает множество всех точек координатной плоскости на точки, расположенные выше ее, и точки, расположенные ниже ее.

Возь-мем из каждой области по контрольной точке , например А (1;1) и В (1; 3)

Координаты точки А удовлетворяют данному неравенству 2у + Зх < 6, т. е. 2 . 1 + 3 . 1 < 6.

Координаты точки В не удовлетворяют данному неравенству 2∙3 + 3∙1 < 6.

Так как данное неравенство может изменить знак на прямой 2у + Зх = 6, то неравенству удовлетворяет множество точек той об-ласти, где расположена точка А. Заштрихуем эту область.

Таким образом, мы изобразили множество решений неравенства 2у + Зх < 6.

Пример

Изобразим множество решений неравенства х 2 + 2х + у 2 - 4у + 1 > 0 на координатной плоскости.

Построим сначала график уравнения х 2 + 2х + у 2 - 4у + 1 = 0. Вы-делим в этом уравнении уравнение окружности: (х 2 + 2х + 1) + (у 2 - 4у + 4) = 4, или (х + 1) 2 + (у - 2) 2 = 2 2 .

Это уравнение окружности с центром в точке 0 (-1; 2) и радиусом R = 2. Построим эту окружность.

Так как данное неравенство строгое и точки, лежащие на самой окружности, неравенству не удовлетворяют, то строим окружность пунктирной линией.

Легко проверить, что координаты центра О окружности данному неравенству не удовлетворяют. Выражение х 2 + 2х + у 2 - 4у + 1 ме-няет свой знак на построенной окружности. Тогда неравенству удовлетворяют точки, расположенные вне окружности. Эти точки заштрихованы.

Пример

Изобразим на координатной плоскости множество решений нера-венства

(у - х 2)(у - х - 3) < 0.

Сначала построим график уравнения (у - х 2)(у - х - 3) = 0. Им яв-ляется парабола у = х 2 и прямая у = х + 3. Построим эти линии и отметим, что изменение знака выражения (у - х 2)(у - х - 3) проис-ходит только на этих линиях. Для точки А (0; 5) определим знак это-го выражения: (5- 3) > 0 (т. е. данное неравенство не выполняется). Теперь легко отметить множество точек, для кото-рых данное неравенство выполнено (эти области заштрихованы).

Алгоритм решения неравенств с двумя переменными

1. Приведем неравенство к виду f (х; у) < 0 (f (х; у) > 0; f (х; у) ≤ 0; f (х; у) ≥ 0;)

2. Записываем равенство f (х; у) = 0

3. Распознаем графики, записанные в левой части.

4. Строим эти графики. Если неравенство строгое (f (х; у) < 0 или f (х; у) > 0), то - штрихами, если неравенство нестрогое (f (х; у) ≤ 0 или f (х; у) ≥ 0), то - сплошной линией.

5. Определяем, на сколько частей графики разбили координатную плоскость

6. Выбираем в одной из этих частей контрольную точку. Определяем знак выражения f (х; у)

7. Расставляем знаки в других частях плоскости с учетом чередования (как по методу интервалов)

8. Выбираем нужные нам части в соответствии со знаком неравенства, которое мы решаем, и наносим штриховку