Владимир.ерашов.рф

Сначала сформулируем объединенный закон инерции, который касается всех тел и всех видов движения:

Последующее кинематическое состояние тела отличается от предыдущего только в том случае, если в период между состояниями на тело начала действовать новая внешняя сила или момент сил и отличается оно только на величину отклика тела на это воздействие.

Этим законом мы никаких новых страниц в кинематике тел не открываем, он получен на основании законов Ньютона, но при сложном движении тела он помогает упростить задачу описания этого движения. Мы исходим из того, что в предыдущем кинематическом состоянии какие бы силы на тело не действовали, оно уже откликнулось на действие этих сил и дальше будет двигаться по приобретенным законам. Например, в первоначальном состоянии на тело действует ускорение а , тело под действием этого ускорения приобрело скорость v , но ускорение продолжает действовать вплоть до последующего состояния. Значит, тело увеличит скорость между состояниями на величину at . Если же между состояниями появится какое-то дополнительное ускорение, то его воздействие достаточно наложить на полученный предыдущий результат, то есть, как бы воспользоваться независимостью действия сил. Главная же нить объединенного закона инерции в том, что если нет изменения действующих сил между состояниями, то нет и изменений законов движения тела, как в жизни, последующий день нанизывается на предыдущий. Если вчера у вас за душой не было ни копейки денег, то и сегодня вы проснетесь без копейки денег. Если вчера вы отправились в длительное морское путешествие на круизном лайнере, то и сегодня вы проснетесь на круизном лайнере. Если у вас чистая рубашка, то значит, ее кто-то постирал. Ни пылинка, ни волос сами собой с вас не упадут, на то должна быть причина (читай какая-то сила). Если до вращения главная ось инерции тела была перпендикулярна поверхности Земли и покоилась относительно этой поверхности, то и после раскрутки тела она будет покоиться относительно Земли, как и раньше (при устойчивом вращении, в случае неустойчивого вращения на тело действует конкретная сила). Изменения в состоянии тела могут происходить, но только под действием конкретной силы или момента сил и никак иначе.

Чтобы легче понять действие сформулированного закона, да еще и попытаться извлечь из этого закона практическую пользу, рассмотрим конкретный пример – это наша вращающаяся Земля и тела на ее поверхности.

Первое, уточним, на Землю действует закон всемирного тяготения Ньютона , поэтому она круглая, как шар.

Второе, на Землю действует центробежное ускорение от вращения, под действием этого ускорения Земля приобрела форму геоида вращения. Уточним, свойство Земли-геоида в том, ч то в любой точке поверхности Земли любое тело остается неподвижным (даже если оно способно свободно двигаться) за счет того что результирующая сила, действующая на тело, от сил притяжения и центробежной силы инерции направлена перпендикулярно поверхности и уравновешивается реакцией этой поверхности (свойство геоида). За счет геоида вращения даже океан на поверхности Земли пришел в равновесное состояние и приобрел неподвижность относительно поверхности, потому и геоид.

Вернемся к телу на поверхности Земли, никто нам не мешает предположить, что на поверхности Земли лежит брусок в форме прямоугольного параллелепипеда. Главная ось инерции этого бруска проходит через точку опоры на поверхности и перпендикулярна поверхности. Отметим, относительно Земли брусок лежит неподвижно, а относительно звезд он вместе с Землей совершает один оборот в сутки.

Выделим для читателей, относительно звезд брусок является вращающимся телом с одним оборотом в сутки, главная ось инерции этого бруска перпендикулярна поверхности Земли и неподвижна относительно Земли. Раскрутим брусок до больших оборотов относительно его главной оси инерции. Останется ли ось бруска перпендикулярной и неподвижной относительно Земли? Либо, как это принято считать, она по отношению к Земле приобретет движение (поворот) и относительно звезд изменит свое состояние от вращения с одним оборотом в сутки перейдет к неподвижному состоянию?

По объединенному закону инерции, после раскрутки брусок должен сохранить неподвижное состояние оси вращения (главной оси инерции) относительно Земли, а относительно звезд по прежнему вращаться с угловой скоростью один оборот в сутки. Мотивируется это тем, что при раскрутке бруска, если брусок отболансирован относительно оси вращения, на цент масс бруска будут действовать те же силы, что и в предшествующем состоянии (до раскрутки). Следовательно, последующее состояние бруска (после раскрутки) тождественно предыдущему состоянию (до раскрутки) и брусок должен сохранить все свойства предшествующего состояния и не получить никаких изменений, в том числе ось вращения бруска должна остаться неподвижной и перпендикулярной относительно поверхности Земли.

Если кому-то не нравится объединенный закон инерции и он не согласен с выводами по объединенному закону, то поведение бруска (вращающегося тела) после раскрутки сохранять свое первоначальное состояние, объясним тем, что на цент масс бруска раскрутка никаких новых сил не добавила, и все параметры движения центра масс бруска в пространстве остались прежними.

Вообще, в условиях Земли на тело хоть вращающееся, хоть не вращающееся действуют следующие силы:

1. Сила притяжения Земли.

2. Сила инерции.

3. Реакция опоры.

Никаких других сил в природе не существует, есть еще ускорение Кориолиса, но оно является производной от сил инерции (не является самостоятельной силой) и появляется только тогда, когда существует перемещение тела относительно поверхности Земли. Само же ускорение Кориолиса перевести тело из неподвижного относительно Земли состояния в подвижное не может, нет движения относительно земли, нет и ускорения Кориолиса.

Быстро вращающиеся относительно главной оси инерции тела принято называть гироскопами. Гироскопы обладают рядом уникальных свойств. Рассмотрим эти свойства и мы. Принято считать, что главное свойство гироскопа состоит в том, что они всегда сохраняют неподвижным положение оси вращения относительно звезд.

Наша же теория вносит существенное уточнение в это свойство гироскопа. В инерциальных системах координат это свойство гироскопа неукоснительно соблюдается, здесь мы солидарны с принятой теорией, а вот в неинерциальных системах отсчета, в частности связанных с поверхностью вращающейся Земли, это свойство не действует иначе, ось гироскопа, если вращение устойчивое, сохраняет свое первоначальное положение и относительно звезд, и относительно Земли. Но так как в первоначальном положении ось гироскопа вращалась относительно звезд, то она и продолжит вращаться относительно звезд с этой же скоростью, а относительно Земли как была неподвижна, так и останется неподвижной. Инертно состояние тела, инертно движение оси, а не направленность на что либо.

Вывод по началу непривычный (инертность мышления), что требуются дополнительные комментарии. Возь мем простой волчо к (юлу). Запустим волчо к. Предположим, что силы трения в основании оси волчка минимальны, и он может сохранять вращение относительно долго. По нашей теории, ось вращения волчка остается неподвижной и перпендикулярной поверхности Земли, следовательно, волчку ничто не препятствует устойчивому и долгому вращению. В жизни волчо к нельзя абсолютно изолировать от внешних сил, какие-то внешние силы, назовем их случайными, все же воздействуют на ось волчка и отклоняют его от вертикального положения. Дальше, сила веса отклоняется от точки опоры, возникает момент сил, на который волчо к откликается прецессией.

Если ось вращения волчка, как это принято считать, должна сохранять неподвижное состояние относительно звезд, то она не может сохранять долго вертикальное положение относительно поверхности Земли, будет наклоняться с востока на запад со скоростью один оборот за сутки (12 градусов в час). Ось вращения такого волчка уже за пять минут вращения отклонится от вертикали примерно на один градус. Если раньше, при вертикальном положении оси вращения, сила тяжести, действующая на цент масс лежала на оси вращения и проходила через точку опоры и никакого перемещения центра масс не вызывала, то при наклоне оси вращения должен возникать опрокидывающий момент. При чем, опрокидывающий момент циркулирует не только по направлению, но и по величине. Он максимален в нижнем положении центра масс и минимален в верхнем положении. Таким образом, этот момент должен вызывать не прецессию волчка, а его нутацию. Это противоречит результатам экспериментов с волчком. У волчка основное движение – это прецессия, а нутация появляется только в самом конце вращения, когда вращение уже близко к беспорядочному.

Есть в промышленности такие агрегаты, как центрифуги. За счет очень большого числа оборотов эти агрегаты очень чувствительны к воздействию внешних сил. Если бы их ось вращения оставалась неподвижной относительно звезд, а относительно поверхности Земли наклонялась, то эти агрегаты уходили бы в разнос и разлетались, а они работают. Следовательно, справедлив наш вариант трактовки поведения вращающихся тел в неинерциальной системе координат, а не общепринятый. Который и принят-то исходя из опытов, а не из теоретических обоснований. Значит, не разобрались как следует с опытным материалом, не то, что есть, приняли за постулат.

Вывод

Объединенный закон инерции действует во всех системах отсчета, как в инерционных, так и в неинерционных. На основании этого закона вскрыто ошибочное представление о существующем первом законе гироскопа, по которому ось вращения гироскопа должна всегда находиться неподвижной относительно звезд. Установлено, что гироскопы так ведут себя только в инерциальных системах отсчета, в неинерциальных нужно пользоваться не этим правилом, а объединенным законом инерции.

12. 07. 2018 г.

В этой статье описывается важный раздел физики - "Кинематика и динамика вращательного движения".

Основные понятия кинематики вращательного движения

Вращательным движением материальной точки вокруг неподвижной оси называют такое движение, траекторией которого является окружность, находящаяся в плоскости перпендикулярной к оси, а центр ее лежит на оси вращения.

Вращательное движение твердого тела - это движение, при котором по концентрическим (центры которых лежат на одной оси) окружностям движутся все точки тела в соответствии с правилом для вращательного движения материальной точки.

Пусть произвольное твердое тело T совершает вращения вокруг оси O, которая перпендикулярна плоскости рисунка. Выберем на данном теле точку M. При вращении эта точка будет описывать вокруг оси O круг радиусом r .

Через некоторое время радиус повернется относительно исходного положения на угол Δφ.

За положительное направление поворота принято направление правого винта (по часовой стрелке). Изменение угла поворота со временем называется уравнением вращательного движения твердого тела:

φ = φ(t).

Если φ измерять в радианах (1 рад - это угол, соответствующий дуге, длиной равной ее радиусу), то длина дуги окружности ΔS, которую пройдет материальная точка M за время Δt, равна:

ΔS = Δφr.

Основные элементы кинематики равномерного вращательного движения

Мерой перемещения материальной точки за небольшой промежуток времени dt служит вектор элементарного поворота dφ .

Угловая скорость материальной точки или тела - это физическая величина, которая определяется отношением вектора элементарного поворота к продолжительности этого поворота. Направление вектора можно определить правилом правого винта вдоль оси О. В скалярном виде:

ω = dφ/dt.

Если ω = dφ/dt = const, то такое движение называется равномерное вращательное движение. При нем угловую скорость определяют по формуле

ω = φ/t.

Согласно предварительной формуле размерность угловой скорости

[ω] = 1 рад/с.

Равномерное вращательное движение тела можно описать периодом вращения. Период вращения T - физическая величина, определяющая время, за которое тело вокруг оси вращения выполняет один полный оборот ([T] = 1 с). Если в формуле для угловой скорости принять t = T, φ = 2 π (полный один оборот радиуса r), то

ω = 2π/T,

поэтому период вращения определим следующим образом:

T = 2π/ω.

Число оборотов, которое за единицу времени совершает тело, называется частотой вращения ν, которая равна:

ν = 1/T.

Единицы измерения частоты: [ν]= 1/c = 1 c -1 = 1 Гц.

Сравнивая формулы для угловой скорости и частоты вращения, получим выражение, связывающее эти величины:

ω = 2πν.

Основные элементы кинематики неравномерного вращательного движения

Неравномерное вращательное движение твердого тела или материальной точки вокруг неподвижной оси характеризует его угловая скорость, которая изменяется со временем.

Вектор ε , характеризующий скорость изменения угловой скорости, называется вектором углового ускорения:

ε = dω/dt.

Если тело вращается, ускоряясь, то есть dω/dt > 0 , вектор имеет направление вдоль оси в ту же сторону, что и ω.

Если вращательное движение замедлено - dω/dt < 0 , то векторы ε и ω противоположно направлены.

Замечание . Когда происходит неравномерное вращательное движение, вектор ω может меняться не только по величине, но и по направлению (при повороте оси вращения).

Связь величин, характеризующих поступательное и вращательное движение

Известно, что длина дуги с углом поворота радиуса и его величиной связана соотношением

ΔS = Δφ r.

Тогда линейная скорость материальной точки, выполняющей вращательное движение

υ = ΔS/Δt = Δφr/Δt = ωr.

Нормальное ускорение материальной точки, что выполняет вращательно поступательное движение, определим следующим образом:

a = υ 2 /r = ω 2 r 2 /r.

Итак, в скалярном виде

a = ω 2 r.

Тангенциальное ускоренной материальной точки, которая выполняет вращательное движение

a = ε r.

Момент импульса материальной точки

Векторное произведение радиуса-вектора траектории материальной точки массой m i на ее импульс называется моментом импульса этой точки касательно оси вращения. Направление вектора можно определить, воспользовавшись правилом правого винта.

Момент импульса материальной точки (L i ) направлен перпендикулярно плоскости, проведенной через r i и υ i , и образует с ними правую тройку векторов (то есть при движении с конца вектора r i к υ i правый винт покажет направление вектора L i).

В скалярной форме

L = m i υ i r i sin(υ i , r i).

Учитывая, что при движении по кругу радиус-вектор и вектор линейной скорости для i-й материальной точки взаимно перпендикулярные,

sin(υ i , r i) = 1.

Так что момент импульса материальной точки для вращательного движения примет вид

L = m i υ i r i .

Момент силы, которая действует на i-ю материальную точку

Векторное произведение радиуса-вектора, который проведен в точку приложения силы, на эту силу называется моментом силы, действующей на i-ю материальную точку относительно оси вращения.

В скалярной форме

M i = r i F i sin(r i , F i).

Считая, что r i sinα = l i , M i = l i F i .

Величина l i , равная длине перпендикуляра, опущенного из точки вращения на направление действия силы, называется плечом силы F i .

Динамика вращательного движения

Уравнение динамики вращательного движения записывается так:

M = dL/dt.

Формулировка закона следующая: скорость изменения момента импульса тела, которое совершает вращение вокруг неподвижной оси, равна результирующему моменту относительно этой оси всех внешних сил, приложенных к телу.

Момент импульса и момент инерции

Известно, что для i-й материальной точки момент импульса в скалярной форме задается формулой

L i = m i υ i r i .

Если вместо линейной скорости подставить ее выражение через угловую:

υ i = ωr i ,

то выражение для момента импульса примет вид

L i = m i r i 2 ω.

Величина I i = m i r i 2 называется моментом инерции относительно оси i-й материальной точки абсолютно твердого тела, проходящей через его центр масс. Тогда момент импульса материальной точки запишем:

L i = I i ω.

Момент импульса абсолютно твердого тела запишем как сумму моментов импульса материальных точек, составляющих данное тело:

L = Iω.

Момент силы и момент инерции

Закон вращательного движения гласит:

M = dL/dt.

Известно, что представить момент импульса тела можно через момент инерции:

L = Iω.

M = Idω/dt.

Учитывая, что угловое ускорение определяется выражением

ε = dω/dt,

получим формулу для момента силы, представленного через момент инерции:

M = Iε.

Замечание. Момент силы считается положительным, если угловое ускорение, которым он вызван, больше нуля, и наоборот.

Теорема Штейнера. Закон сложения моментов инерции

Если ось вращения тела через центр масс его не проходит, то относительно этой оси можно найти его момент инерции по теореме Штейнера:
I = I 0 + ma 2 ,

где I 0 - начальный момент инерции тела; m - масса тела; a - расстояние между осями.

Если система, которая совершает обороты округ неподвижной оси, состоит из n тел, то суммарный момент инерции такого типа системы будет равен сумме моментов, ее составляющих (закон сложения моментов инерции).

Простейшим движением твердого тела является вращение вокруг фиксированной оси: тело насажено на ось, положение которой в пространстве фиксируется подшипниками. Положение тела определяется одним параметром - углом поворота ср. Скорость изменения этого угла со временем ю = d(p/d/ называется угловой скоростью вращения тела. Все точки тела движутся по окружностям со скоростью v = юг, где г - расстояние от точки до оси вращения.

Разобьем тело на малые элементы, Ат. - масса /-го элемента, г. - расстояние от него до оси. Скорость этого элемента v, = сor.. Имеем (см. формулу (2.43)):

Здесь F xt - тангенциальная внешняя сила, действующая на элемент, AF. - тангенциальная внутренняя сила. Умножим уравнение (3.102) на г п выразим скорость элемента через угловую скорость и просуммируем полученное уравнение по всем элементам. Получим

Сумма в левой части этого равенства

называется моментом инерции тела относительно заданной оси , первая сумма в правой части

называется моментом внешних сил относительно заданной оси.

Обратите внимание. Вклад в этот момент дают только тангенциальные составляющие внешних сил, т. е. проекции сил на касательную к окружности в точке приложения силы. Это означает, что силы, направленные вдоль перпендикуляра к оси или параллельно оси, не дают вклада в момент.

Вторая сумма в правой части (3.103) равна нулю (внутренние силы не влияют на вращение тела вокруг оси). Таким образом, получаем уравнение движения твердого тела вокруг заданной оси :

Величина е = ~ называется угловым ускорением.

Обратите внимание. Уравнение (3.106) скалярное. Однако следует учитывать знаки величин, входящих в уравнение. Это делается следующим образом: задаемся (произвольно) положительным направлением угла поворота; моменты сил, вращающих тело в положительном направлении, пишем со знаком плюс, в противоположном - со знаком минус.

Задача 3.24. Однородный диск радиусом R может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр. На диск намотана

нить, к концу которой приложена сила F. Нить сматывается с диска под действием этой силы (рис. 3.5). Определить длину нити, смотавшейся с диска к моменту времени /.

Решение. Если диск повернется на угол d

Rdtp. Отсюда

него сойдет кусок нити длиной ds = /?d

Задача сводится к нахождению угла, на который повернется диск за время /. Обратимся к уравнению (3.106). На диск действует сила натяжения нити в точке схода нити с диска. Если масса нити равна

нулю, эта сила равна силе F. Эта сила тангенциальна, и ее момент относительно оси вращения равен Л/= FR. Уравнение принимает вид

Обратите внимание . Уравнение (3.106) по математической структуре тождественно второму закону для одномерного движения частицы (математик сказал бы, что уравнения одинаковы с точностью до обозначений), поэтому методы решения этого уравнения (с точностью до обозначений) те же, что в п. 2.2.8.

поскольку начальная угловая скорость равна нулю. Далее,

Мы нашли угол поворота диска как функцию времени. Это был пример равноускоренного вращательного движения.

Ось вращения диска совпадает с одной из главных осей, так что

/ = /, = mR 72.

Задача 3.25. Диск из предыдущей задачи вращается по инерции, при t = 0 его угловая скорость равна со(0). На диск действует момент сил трения (о воздух), пропорциональный скорости: М= око. Какова будет скорость диска к моменту времени /?

Решение. Пишем:

Таким образом,

(Полезно сравнить это с решением задачи 2.30).

Задача 3.26. Сколько оборотов сделает диск из предыдущей задачи к моменту времени П

Решение. Проблема, очевидно, в том, что время одного оборота меняется. Число оборотов n(t) = (ср(г) - ф(0))/2я, и дело сводится к нахождению угла поворота за время t. Пишем:

что и решает проблему. Проверка: при малых /, разлагая экспоненту, получим

получим, полагая / -»: Дф = со(0)-.

Комментарии. Полученное в задаче 3.25 решение для угловой скорости не совсем соответствует действительности: согласно этому решению угловая скорость стремится к нулю асимптотически, но, очевидно, что на самом деле диск остановится по истечении конечного промежутка времени. Это означает, что принятый закон для момента сил трения нарушается при достаточно малой угловой скорости. Тем не менее результат для полного угла поворота разумен (почему?)

Вернемся к уравнению (3.106). Умножим это уравнение на со = dtp/dt. Получим

Fr.i1F t ds., но это есть сумма работ всех внешних сил при повороте тела на угол dtp. Из закона сохранения энергии (см. формулу (3.30)) следует, что выражение в скобках в левой части (3.107) есть кинетическая энергия вращающегося твердого тела (поскольку расстояния между частицами твердого тела не изменяются, внутренняя потенциальная энергия твердого тела постоянна и внутренние силы работы не совершают). Из формулы (3.107) получаем

Изменение кинетической энергии вращающегося тела равно работе внешних сил. Это частный случай закона сохранения энергии. При этом кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг фиксированной оси, равна

работа внешних сил

Задача 3.27. К диску из задачи 3.24, вращающемуся с угловой

скоростью со, прижимают с силой F тормозную колодку. Сколько оборотов сделает диск до остановки? Коэффициент трения между диском и колодкой к.

Решение. По аналогии с решением задачи 3.25 можно было бы найти всю кинематику движения диска, но ответ на поставленный вопрос можно дать немедленно на основе формулы (3.108). На диск действует сила трения /^(тангенциальная сила!) с моментом М= - kFR. Других моментов нет. Имеем:

Задача 3.28. Вращающийся маховик является примером механического накопителя энергии. Оценить, до какой угловой скорости нужно раскрутить диск радиусом R = 0,3 м и массой 100 кг, чтобы за счет этой энергии автомобиль мог проехать 20 км.

Решение. Исходим из того, что автомобиль с мощностью двигателя 80 л. с., или 60 кВт, проезжает это расстояние за 20 мин. Двигатель при этом совершает работу А = Nt. Если работа совершается за счет энергии маховика, то

Подставляя числа, получаем

или 900 об/с. (Автомобили с таким источником энергии практически испытывались.)

Снова вернемся к уравнению (3.106). Как мы уже убедились, это уравнение позволяет определить всю кинематику движения тела вокруг фиксированной оси. Возникает вопрос: позволяет ли это уравнение ответить на все вопросы, связанные с таким движением, и в каком отношении находится это уравнение с уравнениями

Ответ на первый вопрос отрицательный. В уравнении учитываются лишь моменты сил, вращающих тело вокруг оси (лежащих в плоскости, ортогональной оси так, что их линии действия не проходят через ось). Уравнение не позволяет определить силы, действующие на ось.

Что касается ответа на второй вопрос, еще раз подчеркнем, что движение твердого тела определяется законами

Здесь V - скорость центра масс; ?„ - собственный момент импульса (относительно центра масс); определяемый формулой (3.86), М 0 - момент сил относительно центра масс. Кинетическая энергия тела определяется формулой (3.99). Это фундаментальные (справедливые всегда) законы. Применим эти формулы к рассматриваемому случаю.

Выберем начало координат в некоторой точке на оси вращения.

Пусть R - радиус-вектор центра масс тела и л - единичный вектор вдоль оси вращения, совпадающий по направлению с вектором

угловой скорости. Имеем: со = ло>, |к| = |шх л| = асо, где а - расстояние от оси вращения до центра масс.

Кинетическая энергия тела

(Последнее равенство получено на основе формулы (3.109).) Если а - 0 (ось проходит через центр масс),

где / 0 - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.

Величина я ? 0 есть проекция собственного момента импульса тела на ось вращения. Из формулы (3.113) получаем

Возвращаясь к формуле (3.112), с учетом (3.114) будем иметь

Отсюда находим связь между моментами инерции относительно заданной оси и параллельной ей оси, проходящей через центр масс:

(так называемая теорема Штейнера).

Займемся моментом импульса. Выберем начало координат на оси вращения в точке пересечения оси с плоскостью, в которой вращается центр масс (это не обязательно, но облегчает анализ). Имеем:

Первое слагаемое в правой части (орбитальный момент) дает вектор, направленный вдоль оси вращения: пта 2 а>. Собственный момент импульса

или, учитывая, что со = сой,

Базисные векторы вращаются вместе с телом, так что, напри- cl/ _ г

мер, - = со х /, поэтому

(было учтено, что й - постоянный вектор и dn/dt = 0). Этот результат означает, что компоненты вектора й постоянны, а это, в свою

очередь, означает (согласно формуле (3.117)), что вектор Z 0 вращается вместе с телом и изменяется со временем, даже если угловая скорость вращения тела постоянна (вектор Z 0 описывает коническую поверхность, ось которой задается вектором й). Из формулы (3.117) получаем

(Напомним, что для любого вектора, «вмороженного» в тело, ^ = со ха.)

Первое из уравнений (3.111) примет вид

(начало координат в центре окружности |л| = а, по которой движется центр масс), второе -

Эти два уравнения определяют силы и моменты сил, действующие на тело, вращающееся вокруг фиксированной оси. Если тело вращается с постоянной угловой скоростью и никакие силы, кроме сил со стороны оси, на него не действуют, формулы (3.119) и (3.120) определяют силу и момент сил, действующие на тело со стороны оси, а взятые с обратным знаком - со стороны тела на ось. Первое из уравнений дает «центробежную силу», направленную перпендикулярно оси. Если ось проходит через центр масс, эта сила равна нулю. Второе принимает вид

Видим, что вектор момента сил направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат ось вращения и момент импульса, и вращается вместе с телом. Этот момент стремится повернуть ось в плоскости, ортогональной моменту силы, и должен компенсироваться силами в подшипниках, удерживающих ось. Этот момент обратится в нуль, если ось вращения и вектор момента импульса параллельны, а это возможно лишь в случае, когда ось вращения параллельна одной из главных осей тензора инерции. В технике проблема уравновешивания быстро вращающихся маховиков очень важна.

Обращаясь к формуле (3.116), напишем

Умножая это равенство скалярно на вектор Я и учитывая формулы (3.114), (3.115), получаем

Таким образом, величина, фигурирующая в левой части равенства (3.106), есть проекция полного момента импульса на ось вращения тела. Тогда правая часть этого равенства есть проекция полного

момента сил на ось вращения: М = Я М (в этом можно было убедиться и непосредственно). Таким образом, выведенное в начале этого пункта уравнение (3.106) есть просто следствие фундаментального уравнения

Выводы

Кинематика вращения твердого тела вокруг фиксированной оси определяется формулой (3.106). Момент инерции относительно оси определяется по формуле (3.105) и сложным образом связан с тензором инерции. Момент сил относительно оси (формула (3.105)) есть проекция момента сил на ось вращения. Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг фиксированной оси, определяется формулой (3.109), которая является следствием общей формулы (3.9). Силы, действующие на ось, могут быть найдены из формул (3.111).

Обратите внимание. Следует различать понятия «моменты импульса и сил относительно оси» и просто «моменты... ». Первые - скалярные величины, вторые - векторные. Для определения первых нужно задать ось, для вторых - точку.

Задача 3.29. Твердое тело может вращаться вокруг горизонтальной оси, не проходящей через центр масс. Момент инерции тела относительно оси /, расстояние от оси до центра масс /, масса тела т. Тело отклонили от положения равновесия на угол

Решение. Ось х - горизонтальна, ось у - вертикально вниз, центр масс движется в плоскости хОу, ось вращения проходит через начало координат, R - радиус-вектор центра масс, R и осью у. На тело действуют силы: со стороны оси F, и сила тяжести. При отклонении тела на угол М = -wg/sincp (здесь / - расстояние от оси до центра масс). Уравнение (3.106) принимает вид

Это уравнение, с точностью до обозначений, тождественно уравнению (2.149) и решается точно так же (проделайте это). Для малых углов отклонения получим

Это гармоническое колебание.

Задача 3.30. Маятник представляет собой диск радиусом /?, массой т на невесомом стержне длиной /. Плоскость диска - в плоскости качания маятника. Как будет двигаться такой маятник при малых углах отклонения?

Решение. Формула (3.123) дает ответ, но надо определить момент инерции этой системы относительно оси вращения. Ось вращения параллельна одной из главных осей диска с моментом инерции относительно этой оси /. = - тЯ 2 . Эта величина будет равняться моменту инерции системы / 0 относительно оси, проходящей через центр масс. Момент инерции маятника найдем по теореме Штейнера: / = / п + та 2 = тЯ 2 /2 + m(l + Я / 2) Эту величину нужно подставить в формулу (3.123). Вместо / в эту формулу нужно подставить / + Я/ 2.

Задача 3.31. Изменится ли результат предыдущей задачи, если диск повернуть так, что его плоскость будет перпендикулярна плоскости качаний маятника?

Ответ. Изменится. В этом случае ось вращения системы параллельна другой главной оси диска с меньшим (в два раза) моментом инерции.

Задача 3.32. Как изменится решение задачи 3.30, если учесть массу стержня /я,?

Решение. Момент инерции относительно оси - величина аддитивная: момент инерции тела равен сумме моментов инерции его частей. Поэтому к найденному в задаче 3.30 моменту инерции диска нужно добавить момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец перпендикулярно стержню. Эта ось параллельна одной из главных осей стержня с моментом / 2 = / 3 = ml 2 /12 . По теореме Штейнера найдем, что момент относительно конца стержня будет равен ml 2 /3.

Задача 3.33. В условиях задачи 3.29 определить силу, действующую на ось маятника.

Решение. На маятник действуют две внешние силы: F x со стороны оси и сила тяжести mg. Имеем (обозначения см. в задаче 3.29):

Уравнение (3.119) принимает вид

В решении задачи 3.29 показано, что - = 1 -sintp.

Дело сводится к нахождению угловой скорости. Обратимся к закону сохранения энергии. Очевидно, что в отсутствие сил трения, которые мы не учитываем, механическая энергия системы сохраняется: W k + W n = const. Потенциальная энергия W n - это энергия

маятника в поле тяжести. Имеем: R = /7 sintp + jl costp,

Закон сохранения энергии дает уравнение

(в правой части стоит начальная энергия системы). Отсюда

Мы нашли угловую скорость как функцию положения маятника. Возвращаясь к формуле (3.124) для силы, получим

Это и есть сила, действующая на ось маятника. Видим, что горизонтальная составляющая силы отлична от нуля, но равна нулю в положении равновесия. Вертикальная составляющая максимальна в положении равновесия. Очевидно, что математический маятник (материальная точка на конце невесомого стержня) есть частный случай рассмотренной системы. Полагая /= ml 2 , получаем результат для математического маятника.

Задача 3.34. К вертикальной стене прислонена доска длиной / и массой т. В момент времени t = 0 доска начинает падать. Найти силу, действующую на опорный конец доски.

масс доски движется в плоскости хОу, R = / -jsin

радиус-вектор центра масс (

• - г dtp г
• (о = -к- = -ксо. На доску действуют внешние силы: F на нижний at

конец и сила тяжести mg в центре масс. Уравнение (3.119) принимает вид

Угловую скорость, как и в предыдущей задаче, найдем из закона сохранения энергии:

(Было учтено, что момент инерции доски, как и тонкого стержня,

т т 1 г

равен I = -^-.)

Для определения углового ускорения необходимо обратиться к уравнению (3.106). Центр масс доски, к которому приложена сила тяжести, движется по окружности, тангенциальная составляющая силы тяжести равна /ngsin

оси М = -^-sincp, других моментов нет. Таким образом, Уравнение (3.126) принимает вид

где т - единичный касательный вектор к траектории центра масс. Подставляя это в формулу (3.127) и разрешая полученное уравнение относительно силы, получаем

Это сила, действующая на нижний конец доски. Горизонтальная составляющая силы при

потом начинает убывать, и при

значит, что далее доска теряет контакт со стеной, и при больших углах решение неверно. (Если бы нижний конец доски был закреплен на шарнире, решение было бы верно при любых углах.) Более того, численный анализ показывает, что вертикальная составляющая силы при угле

Основные понятия.

Момент силы относительно оси вращения – это векторное призведение радиус-вектора на силу.

Момент силы – это вектор, направление которого определяется по правилу буравчика (правого винта) в зависимости от направления силы, действующей на тело. Момент силы направлен вдоль оси вращения и не имеет конкретной точки приложения.

Численное значение данного вектора определяется по формуле:

M=r×F × sina (1.15),

где a- угол между радиус-вектором и направлением действия силы.

Если a=0 или p , момент силы М=0 , т.е. сила, проходящяя через ось вращения или совпадающяя с ней, вращения не вызывает.

Наибольший по модулю вращающий момент создается, если сила действует под углом a=p/2 (М > 0) или a=3p/2 (М < 0).

Используя понятие плеча силы (плечо силы d – это перпендикуляр, опущенный из центра вращения на линию действия силы), формула момента силы принимает вид:

Где (1.16)

Правило моментов сил (условие равновесия тела, имеющего неподвижную ось вращения):

Для того, чтобы тело, имеющее неподвижную ось вращения, находилось в равновесии, необходимо, чтобы алгебраическая сумма моментов сил, действующих на данное тело, равнялась нулю.

S М i =0 (1.17)

Единицей измерения момента силы в системе СИ является [Н×м]

При вращательном движении инертность тела зависит не только от его массы, но и от распределения ее в пространстве относительно оси вращения.

Инертность при вращении характеризуется моментом инерциитела относительно оси вращения J.

Момент инерции материальной точки относительно оси вращения – это величина, равная произведению массы точки на квадрат ее расстояния от оси вращения:

J i =m i × r i 2 (1.18)

Моментом инерции тела относительно оси называется сумма моментов инерции материальных точек, из которых состоит тело:

J=S m i × r i 2 (1.19)

Момент инерции тела зависит от его массы и формы, а также от выбора оси вращения. Для определения момента инерции тела относительно некоторой оси используется теорема Штейнера-Гюйгенса:

J=J 0 +m× d 2 (1.20),

где J 0 – момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через цент масс тела, d – расстояние между двумя параллельными осями. Момент инерции в СИ измеряется в [кг×м 2 ]

Момент инерции при вращательном движении туловища человека определяют опытным путем и рассчитывают приблизительно по формулам для цилиндра, круглого стержня или шара.

Момент инерции человека относительно вертикальной оси вращения, которая проходит через центр масс (центр масс тела человека находится в сагиттальной плоскости немного впереди второго крестцового позвонка), в зависимости от положения человека, имеет следующие значения: при стойке “смирно” – 1,2 кг×м 2 ; при позе «арабеск» – 8 кг×м 2 ; в горизонтальном положении – 17 кг× м 2 .

Работа во вращательном движении совершается при вращении тела под действием внешних сил.

Элементарная работа силы во вращательном движении равна произведению момента силы на элементарный угол поворота тела:

dA i =M i × dj (1.21)

Если на тело действует несколько сил, то элементарная работа равнодействующей всех приложенных сил определяется по формуле:

dA=M× dj (1.22),

где М – суммарный момент всех внешних сил, действующих на тело.

Кинетическая энергия вращающегося тела W к зависит от момента инерции тела и угловой скорости его вращения:

Момент импульса (момент количества движения) – величина, численно равная произведению импульса тела на радиус вращения.

L=p× r=m× V× r (1.24).

После соответствующих преобразований можно записать формулу для определения момента импульса в виде:

(1.25).

Момент импульса – вектор, направление которого определяется по правилу правого винта. Единицей измерения момента импульса в СИ является [кг×м 2 /с]

Основные законы динамики вращательного движения.

Основное уравнение динамики вращательного движения:

Угловое ускорение тела, совершающего вращательное движение, прямо пропорционально суммарному моменту всех внешних сил и обратно пропорционально моменту инерции тела.

(1.26).

Данное уравнение играет ту же роль при описании вращательного движения, что и второй закон Ньютона для поступательного движения. Из уравнения видно, что при действии внешних сил угловое ускорение тем больше, чем меньше момент инерции тела.

Второй закон Ньютона для динамики вращательного движения можно записать в ином виде:

(1.27),

т.е. первая производная от момента импульса тела по времени равна суммарному моменту всех внешних сил, действующих на данное тело.

Закон сохранения момента импульса тела:

Если суммарный момент всех внешних сил, действующих на тело, равен нулю, т.е.

S M i =0 , тогда dL/dt=0 (1.28).

Из этого следует или (1.29).

Это утверждение составляет сущность закона сохранения момента импульса тела, который формулируется следующим образом:

Момент импульса тела остается постоянным, если суммарный момент внешних сил, действующих на вращающееся тело, равен нулю.

Этот закон является справедливым не только для абсолютно твердого тела. Примером является фигурист, который выполняет вращение вокруг вертикальной оси. Прижимая руки, фигурист уменьшает момент инерции и увеличивает угловую скорость. Чтобы затормозить вращения, он, наоборот, широко разводит руки; в результате момент инерции увеличивается, и угловая скорость вращения уменьшается.

В заключение приведем сравнительную таблицу основных величин и законов, характеризующих динамику поступательного и вращательного движений.

Таблица 1.4.

Поступательное движение	Вращательное движение
Физическая величина	Формула	Физическая величина	Формула
Масса	m	Момент инерции	J=m×r 2
Сила	F	Момент силы	M=F×r, если
Импульс тела (количество движения)	p=m×V	Момент импульса тела	L=m×V×r; L=J×w
Кинетическая энергия		Кинетическая энергия
Механическая работа	dA=FdS	Механическая работа	dA=Mdj
Основное уравнение динамики поступательного движения		Основное уравнение динамики вращательного движения	,
Закон сохранения импульса тела	или если	Закон сохранения момента импульса тела	или SJ i w i =const, если

Центрифугирование.

Разделение неоднородных систем, состоящих из частиц различной плотности, может быть произведено под действием силы тяжести и силы Архимеда (выталкивающей силы). Если есть водная суспензия частиц различной плотности, то на них действует результирующая сила

F р =F т – F А =r 1 ×V×g - r×V×g , т.е

F р =(r 1 - r)× V×g (1.30)

где V – объем частицы, r 1 и r – соответственно плотности вещества частицы и воды. Если плотности незначительно отличаются друг от друга, то результирующая сила мала и расслоение (осаждение) происходит достаточно медленно. Поэтому используют принудительное разделение частиц за счет вращения разделяемой среды.

Центрифугированием называется процесс разделения (сепарации) неоднородных систем, смесей или взвесей, состоящих из частиц различной массы, происходящий под действием центробежной силы инерции.

Основу центрифуги составляет ротор с гнездами для пробирок, расположенный в закрытом корпусе, который приводится во вращение электродвигателем. При вращении с достаточно высокой скоростью ротора центрифуги частицы взвеси, различные по масссе, под действием центробежной силы инерции распределяются слоями на различной глубине, а наиболее тяжелые осаждаются на дне пробирки.

Можно показать, что сила, под действием которой происходит сепарация, определяется по формуле:

(1.31)

где w - угловая скорость вращения центрифуги, r – расстояние от оси вращения. Эффект центрифугирования тем больше, чем больше различие плотностей сепарируемых частиц и жидкости, а также существенно зависит от угловой скорости вращения.

Ультрацентрифуги, работающие при скорости вращения ротора порядка 10 5 –10 6 оборотов в минуту, способны разделить частицы размером менее 100нм, взвешенные или растворенные в жидкости. Они нашли широкое применение в медико-биологических исследованиях.

С помощью ультрацентрифугирования можно разделить клетки на органеллы и макромолекулы. Вначале оседают (седиментируют) более крупные части (ядра, цитоскелет). При дальнейшем увеличении скорости центрифугирования последовательно оседают более мелкие частицы – сначала митохондрии, лизосомы, затем микросомы и, наконец, рибосомы и крупные макромолекулы. При центрифугировании различные фракции оседают с различной скоростью, образуя в пробирке отдельные полосы, которые можно выделить и исследовать. Фракционированные клеточные экстракты (бесклеточные системы) широко используют для изучения внутриклеточных процессов, например для изучения биосинтеза белка, расшифровки генетического кода.

Для стерилизации наконечников в стоматологии используется масляный стерилизатор с центрифугой, с помощью которой удаляется излишнее масло.

Центрифугирование можно использовать для осаждения частиц, взвешенных в моче; отделения форменных элементов от плазмы крови; разделения биополимеров, вирусов и субклеточных структур; контроля за чистотой препарата.

Задания для самоконтроля знаний.

Задание1 . Вопросы для самоконтроля.

Чем отличается равномерное движение по окружности от равномерного прямолинейного движения? При каком условии тело будет двигаться равномерно по окружности?

Объясните причину того, что равномерное движение по окружности происходит с ускорением.

Может ли криволинейное движение происходить без ускорения?

При каком условии момент силы равен нулю? принимает наибольшее значение?

Укажите границы применимости закона сохранения импульса, момента импульса.

Укажите особенности сепарации под действием силы тяжести.

Почему разделение белков с различными молекулярными массами можно проводить при помощи центрифугирования, а метод фракционной перегонки оказывается неприемлемым?

Задание 2 . Тесты для самоконтроля.

Вставьте пропущенное слово:

Изменение знака угловой скорости свидетельствует об изменении_ _ _ _ _ вращательного движения.

Изменение знака углового ускорения свидетельствует об изменении_ _ _ вращательного движения

Угловая скорость равна _ _ _ _ _производной угла поворота радиус-вектора по времени.

Угловое ускорение равно _ _ _ _ _ _производной угла поворота радиус-вектора по времени.

Момент силы равен_ _ _ _ _, если направление действующей на тело силы совпадает с осью вращения.

Найдите правильный ответ:

Момент силы зависит только от точки приложения силы.

Момент инерции тела зависит только от массы тела.

Равномерное движение по окружности происходит без ускорения.

А. Правильно. В. Неправильно.

Скалярними являются все перечисленные величины, за исключением

А. момента силы;

В. механической работы;

С. потенциальной энергии;

Д. момента инерции.

Векторными величинами являются

А. угловая скорость;

В. угловое ускорение;

С. момент силы;

Д. момент импульса.

Ответы : 1 – направления; 2 – характера; 3 – первой; 4 – второй; 5 – нулю; 6 – В; 7 – В; 8 – В; 9 – А; 10 – А, В, С, Д.

Задание 3 . Получите связь между единицами измерения:

линейной скорости см/мин и м/с;

углового ускорения рад/мин 2 и рад/с 2 ;

момента силы кН×см и Н×м;

импульса тела г×см/с и кг×м/с;

момента инерции г×см 2 и кг×м 2 .

Задание 4 . Задачи медико-биологического содержания.

Задача №1. Почему в полетной фазе прыжка спортсмен не может никакими движениями изменить траекторию движения центра тяжести тела? Совершают ли мышцы спортсмена работу при изменении положения частей тела в пространстве?

Ответ: Движениями в свободном полете по параболе спортсмен может только изменять расположение тела и его отдельных частей относительно своего центра тяжести, который в данном случае является центром вращения. Спортсмен совершает работу по изменению кинетической энергии вращения тела.

Задача №2. Какую среднюю мощность развивает человек при ходьбе, если продолжительность шага 0,5с? Считать, что работа затрачивается на ускорение и замедление нижних конечностей. Угловое перемещение ног около Dj=30 о. Момент инерции нижней конечности равен 1,7кг× м 2 . Движение ног рассматривать как равнопеременное вращательное.

Решение:

1)Запишем краткое условие задачи: Dt= 0,5с; Dj =30 0 =p/ 6; I =1,7кг× м 2

2) Определим работу за один шаг (правая и левая нога): A= 2×Iw 2 / 2=Iw 2 .

Используя формулу средней угловой скорости w ср =Dj/Dt, получим: w= 2w ср = 2×Dj/Dt; N=A/Dt= 4×I×(Dj) 2 /(Dt) 3

3) Подставим числовые значения: N =4× 1,7× (3,14) 2 /(0,5 3 × 36)=14,9(Вт)

Ответ: 14,9 Вт.

Задача №3. Какова роль движения рук при ходьбе?

Ответ : Движение ног, перемещающихся в двух параллельных плоскостях, находящихся на некотором расстоянии друг от друга, создает момент сил, стремящийся повернуть корпус человека вокруг вертикальной оси. Руками человек размахивает «навстречу» движению ног, создавая тем самым момент сил противоположного знака.

Задача №4. Одним из направлений усовершенствования бормашин, применяемых в стоматологии, является увеличение скорости вращения бора. Скорость вращения борного наконечника в ножных бормашинах составляет 1500 оборотов в минуту, в стационарных электробормашинах – 4000 об/мин, в турбинных бормашинах – уже достигает 300000 об/мин. Зачем разрабатываются новые модификации бормашин с большим числом оборотов в единицу времени?

Ответ: Дентин в несколько тысяч раз более восприимчив к болевым ощущениям, чем кожа: на 1мм 2 кожи приходится 1-2 болевые точки, а на 1мм 2 дентина резцов – до 30000 болевых точек. Увеличение числа оборотов по данным физиологов уменьшает боль при обработке кариозной полости.

Задание 5 . Заполните таблицы:

Таблица №1 . Проведите аналогию между линейными и угловыми характеристиками вращательного движения и укажите связь между ними.

Таблица №2.

Задание 6. Заполните ориентировочную карту действия:

Глава 2. Основы биомеханики.

Вопросы.

Рычаги и сочленения в опорно-двигательном аппарате человека. Понятие о степенях свободы.

Виды сокращения мышц. Основные физические величины, описывающие мышечные сокращения.

Принципы двигательной регуляции у человека.

Методы и приборы для измерения биомеханических характеристик.

2.1. Рычаги и сочленения в опорно-двигательном аппарате человека.

Анатомия и физиология двигательного аппарата человека обладают следующими особенностями, которые необходимо учитывать при биомеханических расчетах: движения тела определяются не только мышечными силами, но и внешними силами реакции, силой тяжести, инерционными силами, а также упругими силами и трением; структура двигательного аппарата допускает исключительно вращательные движения. С помощью анализа кинематических цепей поступательные движения могут быть сведены к вращательным движениям в суставах; движения управляются с помощью очень сложного кибернетического механизма, так что происходит постоянное изменение ускорений.

Опорно-двигательный аппарат человека состоит из сочлененных между собой костей скелета, к которым в определенных точках прикрепляются мышцы. Кости скелета действуют как рычаги, которые имеют точку опоры в сочленениях и приводятся в движение силой тяги, возникающей при сокращении мышц. Различают три вида рычага :

1) Рычаг, к которому действующая сила F и сила сопротивления R приложены по разные стороны от точки опоры. Примером такого рычага является череп, рассматриваемый в сагиттальной плоскости.

2) Рычаг, у которого действующая сила F и сила сопротивления R приложены по одну сторону от точки опоры, причем, сила F приложена к концу рычага, а сила R - ближе к точке опоры. Данный рычаг дает выигрыш в силе и проигрыш в расстоянии, т.е. является рычагом силы . Пример - действие свода стопы при подъеме на полупальцы, рычаги челюстно-лицевого отдела (рис. 2.1). Движения жевательного аппарата очень сложны. При закрывании рта поднимание нижней челюсти из положения максимального опускания до положения полного смыкания ее зубов с зубами верхней челюсти осуществляется движением мышц, поднимающих нижнюю челюсть. Эти мышцы действуют на нижнюю челюсть как на рычаг второго рода с точкой опоры в суставе (дающий выигрыш при жевании в силе).

3) Рычаг, у которого действующая сила приложена ближе к точке опоры, чем сила сопротивления. Данный рычаг является рычагом скорости , т.к. дает проигрыш в силе, но выигрыш в перемещении. Пример - кости предплечья.

Рис. 2.1. Рычаги челюстно-лицевого отдела и свода стопы.

Большинство костей скелета находится под действием нескольких мышц, развивающих усилия по различным направлениям. Равнодействующая их находится путем геометрического сложения по правилу параллелограмма.

Кости опорно-двигательного аппарата соединяются между собой в сочленениях или суставах. Концы костей, образующих сустав, удерживаются вместе с помощью плотно охватывающей их суставной сумки, а также прикрепленных к костям связок. Для уменьшения трения соприкасающиеся поверхности костей покрыты гладким хрящом и между ними имеется тонкий слой клейкой жидкости.

Первой ступенью биомеханического анализа двигательных процессов является определение их кинематики. На основе такого анализа строятся абстрактные кинематические цепи, подвижность или устойчивость которых может быть проверена исходя из геометрических соображений. Различают замкнутые и разомкнутые кинематические цепи, образуемые суставами и расположенными между ними жесткими звеньями.

Состояние свободной материальной точки в трехмерном пространстве задается тремя независимыми координатами – х, y, z . Независимые переменные, которые характеризуют состояние механической системы, называются степенями свободы . У более сложных систем количество степеней свободы может быть выше. Вообще, количество степеней свободы определяет не только количество независимых переменных (что характеризует состояние механической системы), но и количество независимых перемещений системы.

Число степеней свободы является основной механической характеристикой сустава, т.е. определяет число осей , вокруг которых возможно взаимное вращение сочленненых костей. Обусловлено оно главным образом геометрической формой поверхности костей, соприкасающихся в суставе.

Максимальное число степеней свободы в суставах – 3.

Примерами одноосного (плоского) сочленения в организме человека являются плечелоктевое, надпяточное и фаланговые соединения. Они допускают только возможность сгибания и разгибания с одной степенью свободы. Так, локтевая кость с помощью полукруглой выемки охватывает цилиндрический выступ на плечевой кости, который и служит осью сустава. Движения в суставе – сгибание и разгибание в плоскости, перпендикулярной оси сустава.

Лучезапястный сустав, в котором осуществляется сгибание и разгибание, а также приведение и отведение, можно отнести к суставам с двумя степенями свободы.

К суставам с тремя степенями свободы (пространственное сочленение) относятся тазобедренное и лопаточно-плечевое сочленение. Например, в лопаточно-плечевом сочленении шаровидная головка плечевой кости входит в сферическую впадину выступа лопатки. Движения в суставе – сгибание и разгибание (в сагиттальной плоскости), приведение и отведение (в фронтальной плоскости) и вращение конечности вокруг продольной оси.

Замкнутые плоские кинематические цепи обладают числом степеней свободы f F , которое вычисляется по числу звеньев n следующим образом:

Ситуация для кинематических цепей в пространстве более сложная. Здесь выполняется соотношение

(2.2)

гдеf i - число ограничений степеней свободы i- го звена.

В любом теле можно выбрать такие оси, направление которых при вращении будет сохраняться без любых специальных устройств. Они имеют название свободные оси вращения

Вот мальчик вращает камень на веревке. Он крутит этот камень все быстрее, пока веревка не оборвется. Тогда камень полетит куда-то в сторону. Какая же сила разорвала веревку? Ведь она удерживала камень, вес которого, конечно, не менялся. На веревку действует центробежная сила , отвечали ученые еще до . Еще задолго до Ньютона ученые выяснили, для того, чтобы тело вращалось, на него должна действовать сила. Но особенно хорошо это видно из законов Ньютона. Ньютон был первым ученым, . Он установил причину вращательного движения планет вокруг Солнца. Силой, вызывающей это движение, оказалась сила тяготения.

Центростремительная сила

Древнее оружие человека - праща

Центрирование ротора

Уравновешивание центробежных сил