Функция n переменных Переменная u называется функцией n переменных (аргументов) x, y, z, …, t, если каждой системе значений x, y, z, …, t, из области их изменений (области определения), соответствует определенное значение u. Областью определения функции называется совокупность всех точек, в которых она имеет определенные действительные значения. Для функции двух переменных z=f(x, y) область определения представляет некоторую совокупность точек плоскости, а для функции трех переменных u=f(x, y, z) – некоторую совокупность точек пространства.

Функция двух переменных Функцией двух переменных называется закон, по которому каждой паре значений независимых переменных x, y (аргументов) из области определения соответствует значение зависимой переменной z (функции). Данную функцию обозначают следующим образом: z = z(x, y) либо z= f(x, y) , или же другой стандартной буквой: u=f(x, y) , u = u (x, y)

Частные производные первого порядка Частной производной от функции z =f(x, y) по независимой переменной х называется конечный предел вычисленный при постоянной у Частной производной по у называется конечный предел вычисленный при постоянной х Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования.

Полный дифференциал функции z =f(x, y) вычисляется по формуле Полный дифференциал функции трех аргументов u =f(x, y, z) вычисляется по формуле

Частные производные высших порядков Частными производными второго порядка от функции z =f(x, y) называются частные производные от ее частных производных первого порядка Аналогично определяются и обозначаются частные производные третьего и высших порядков.

Дифференциалы высших порядков Дифференциалом второго порядка от функции z=f(x, y) называется дифференциал от ее пологого Дифференциалы высших порядков вычисляются по формуле Имеет место символическая формула

Дифференцирование сложных функций Пусть z=f(x, y), где х=φ(t), у=ψ(t) и функции f(x, y), φ(t), ψ(t) дифференцируемы. Тогда производная сложной функции z=f[φ(t), ψ(t)] вычисляется по формуле

Дифференцирование неявных функций Производные неявной функции двух переменных z=f(x, y), заданной с помощью уравнения F(x, y, z)=0, могут быть вычислены по формулам

Экстремум функции Функции z=f(x, y) имеет максимум (минимум) в точке M 0(x 0; y 0) если значение функции в этой точке больше (меньше), чем ее значение в любой другой точке M(x; y) некоторой окрестности точки M 0. Если дифференцируемая функция z=f(x, y) достигает экстремума в точке M 0(x 0; y 0), то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, т. е. (необходимые условия экстремума).

Пусть M 0(x 0; y 0) стационарная точка функции z=f(x, y). Обозначим И составим дискриминант Δ=AC B 2. Тогда: Если Δ>0, то функция имеет в точке М 0 экстремум, а именно максимум при А 0 (или С>0); Если Δ

Первообразная функция Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале X=(a, b), если в каждой точке этого интервала f(x) является производной для F(x), т. е. Из этого определения следует, что задача нахождения первообразной обратна задаче дифференцирования: по заданной функции f(x) требуется найти функцию F(x), производная которой равна f(x).

Неопределённый интеграл Множество всех первообразных функции F(x)+С для f(x) называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается символом. Таким образом, по определению где C произвольная постоянная; f(x) подынтегральная функция; f(x) dx подынтегральное выражение; x переменная интегрирования; знак неопределенного интеграла.

Свойства неопределённого интеграла 1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции: 2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

3. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла: 4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывной функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций: 5. Если, то и где u=φ(x) произвольная функция, имеющая непрерывную производную

Основные методы интегрирования Метод непосредственного интегрирования Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приво дится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием.

При сведении данного интеграла к табличному часто используются следующие преобразования дифференциала (операция «подведения под знак дифференциала»):

Замена переменной в неопределённом интеграле (интегрирование подстановкой) Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования. При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Пусть требуется вычислить интеграл. Сделаем подстановку х = φ(t), где φ(t) функция, имеющая непрерывную производную. Тогда dx=φ"(t)dt и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой

Интегрирование по частям Формула интегрирования по частям Формула дает возможность свести вычисление интеграла к вычислению интеграла, который может оказаться существенно более простым, чем исходный.

Интегрирование рациональных дробей Рациональной дробью называется дробь вида P(x)/Q(x), где P(x) и Q(x) – многочлены. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P(x) ниже степени многочлена Q(x); в противном случае дробь называется неправильной. Простейшими (элементарными) дробями называются правильные дроби следующего вида: где А, В, p, q, a действительные числа.

Первый интеграл простейшей дроби IV типа в правой части равенства легко находится с помощью подстановки х2+px+q=t, а второй преобразуем так: Полагая х+р/2=t, dx=dt получим и обозначая q-p 2/4=a 2,

Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие дроби Перед интегрированием рациональной дроби P(x)/Q(x) надо сделать следующие алгебраические преобразования и вычисления: 1)Если дана неправильная рациональная дробь, то выделить из нее целую часть, т. е. представить в виде где М(х) многочлен, а P 1(x)/Q(x) – правильная рациональная дробь; 2) Разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители: где р2/4 q

3) Правильную рациональную дробь разложить на простейшие дроби: 4) Вычислить неопределенные коэффициенты А 1, А 2, …, Аm, …, В 1, В 2, …, Вm, …, С 1, С 2, …, Сm, …, для чего привести последнее равенство к общему знаменателю, приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях полученного тождества и решить систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов.

Интегрирование простейших иррациональных функций 1. Интегралы вида где R – рациональная функция; m 1, n 1, m 2, n 2, … целые числа. С помощью подстановки ах+b=ts, где s наименьшее общее кратное чисел n 1, n 2, …, указанный интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции. 2. Интеграл вида Такие интегралы путем выделения квадрата из квадратного трехчлена приводятся к табличным интегралам 15 или 16

3. Интеграл вида Для нахождения этого интеграла выделим в числителе производную квадратного трехчлена, стоящего под знаком корня, и разложим интеграл на сумму интегралов:

4. Интегралы вида С помощью подстановки х α=1/t этот интеграл приводится к рассмотренному п. 2 5. Интеграл вида где Рn(х) – многочлен n й степени. Интеграл такого вида находится с помощью тождества где Qn 1(x) – многочлен (n 1) й степени с неопределенными коэффициентами, λ число. Дифференцируя указанное тождество и приводя результат к общему знаменателю, получим равенство двух многочленов, из которого можно определить коэффициенты многочлена Qn 1(x) и число λ.

6. Интегралы от дифференциальных биномов где m, n, p – рациональные числа. Как доказал П. Л. Чебышев, интегралы от дифференциальных биномов выражаются через элементарные функции только в трех случаях: 1) р – целое число, тогда данный интеграл сводится к интегралу от рационнальной функции с помощью подстановки х=ts, где s – наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n. 2) (m+1)/n – целое число, в этом случае данный интеграл рационализируется с помощью подстановки a+bxn=ts; 3) (m+1)/n+р – целое число, в этом случае к той же цели ведет подстановка ax n+b=ts , где s – знаменатель дроби р.

Интегрирование тригонометрических функций Интегралы вида где R – рациональная функция. Под знаком интеграла находится рациональная функция от синуса и косинуса. В данном случае применима универсальная тригонометрическая подстановка tg(x/2)=t, которая сводит этот интеграл к интегралу от рациональной функции нового аргумента t (таблица п. 1). Существуют и другие подстановки, представленные в следующей таблице:

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке называется предел интегральных сумм при условии, что длина наибольшего частичного отрезка Δхi стремится к нуль. Числа а и b называются нижним и верхним пределами интегрирования. Теорема Коши. Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то определенный интеграл существует

Src="https://present5.com/presentation/-110047529_437146758/image-36.jpg" alt="Если f(x)>0 на отрезке , то определенный интеграл геометрически представляет собой площадь криволинейной"> Если f(x)>0 на отрезке , то определенный интеграл геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции фигуры, ограниченной линиями у=f(x), x=a, x=b, y=0

Правила вычисления определенных интегралов 1. Формула Ньютона Лейбница: где F(x) – первообразная для f(x), т. е. F(x)‘= f(x). 2. Интегрирование по частям: где u=u(x), v=v(x) – непрерывно дифференцируемые функции на отрезке .

3. Замена переменной где х=φ(t) – функция, непрерывная вместе со своей производной φ‘ (t) на отрезке α≤t≤β, a= φ(a), b= φ(β), f[φ(t)] – функция непрерывна на [α; β] 4. Если f(x) – нечетная функция, т. е. f(x)= f(x), то Если f(x) –четная функция, т. е. f(x)=f(x), то.

Несобственные интегралы Несобственными интегралами называются: 1) интегралы с бесконечными пределами; 2) интегралы от неограниченных функций. Несобственный интеграл от функции f(x) в пределах от а до +бесконечности определяется равенством Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся; если же предел не существует или равен бесконечности, расходящимися Если функция f(x) имеет бесконечный разрыв в точке с отрезка и непрерывна при а≤х

При исследовании сходимости несобственных интегралов пользуются одним из признаков сравнения. 1. Если функции f(x) и φ(x) определены для всех х≥а и интегрируемы на отрезке , где А≥а, и если 0≤f(x)≤φ(x) для всех х≥а, то из сходимости интеграла вытекает сходимость интеграла, причем 2. 1 Если при х→+∞ функция f(x)≤ 0 является бесконечно малой порядка р>0 по сравнению с 1/х, то интеграл сходится при р>1 и расходится при р≤ 1. 2. 2 Если функция f(x)≥ 0 определена и непрерывна в промежутке а ≤ х

Вычисление площади плоской фигуры Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой у=f(x) , прямыми x=a и x=b и отрезком оси ОХ вычисляется по формуле Площадь фигуры, ограниченной кривой у=f 1(x) и у=f 2(x) и прямыми x=a и x=b находится по формуле Если кривая задана параметрическими уравнениями х=х(t), у=у(t), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми x=a, x=b и отрезком оси ОХ вычисляется по формуле где t 1 и t 2 определяются из уравнения а=х(t 1), b=х(t 2) Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением ρ=ρ(θ) и двумя полярными радиусами θ=α, θ=β (α

Вычисление длины дуги плоской кривой Если кривая у=f(x) на отрезке – гладкая (т. е. производная у’=f’(x) непрерывна), то длина соответствующей дуги этой кривой находится по формуле При параметрическом задании кривой х=х(t), у=у(t) [х(t) и у(t) – непрерывно дифференцируемые функции] длина дуги кривой, соответствующая, монотонному изменению параметра t от t 1 до t 2, вычисляется по формуле Если гладкая кривая задана в полярных координатах уравнением ρ=ρ(θ), α≤θ≤β, то длина дуги равна.

Вычисление объема тела 1. Вычисление объема тела по известным площадям поперечных сечений. Если площадь сечения тела плоскость, перпендикулярной оси ОХ, может быть выражена как функция от х, т. е. в виде S=S(х) (a≤x≤b), объем части тела, заключенный между перпендикулярными оси ОХ плоскостями x=a и x=b, находится по формуле 2. Вычисление объема тела вращения. Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой у=f(x) и прямыми у=0, x=a, x=b, вращается вокруг оси ОХ, то объем тела вращения вычисляется по формуле Если фигура, ограниченная кривыми у1=f 1(x) и у2=f 2(x) и прямыми x=a, x=b, вращается вокруг оси ОХ, то объем тема вращения равен.

Вычисление площади поверхности вращения Если дуга гладкой кривая у=f(x) (a≤х≤b) вращается вокруг оси ОХ, то площадь поверхности вращения вычисляется по формуле Если кривая задана параметрическими уравнениями х=х(t), у=у(t) (t 1≤t≤t 2), то.

Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этой функции. Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным, если же независимых переменных две или больше, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Уравнение первого порядка Функциональное уравнение F(x, y, y) = 0 или y = f(x, y), связывающее между собой независимую переменную, искомую функцию y(x) и ее производную y (x), называется дифференциальным уравнением первого порядка. Решением уравнения первого порядка называется всякая функция y= (x), которая, будучи подставлена в уравнение вместе со своей производной y = (x), обращает его в тождество относительно x.

Общее решение дифференциального уравнения 1 го порядка Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется такая функция y = (x, C), которая при любом значении параметра C является решением этого дифференциального уравнения. Уравнение Ф(x, y, C)=0, определяющее общее решение как неявную функцию, называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Уравнение, разрешенное относительно производной Если уравнение 1 го порядка разрешить относительно производной, то оно может быть представлено в виде Его общее решение геометрически представляет собой семейство интегральных кривых, т. е. совокупность линий, соответствующих различным значениям постоянной C.

Постановка задачи Коши Задача отыскания решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию при, называется задачей Коши для уравнения 1 го порядка. Геометрически это означает: найти интегральную кривую дифференциального уравнения, проходящую через данную точку.

Уравнение с разделяющимися переменными Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделенными переменными. Дифференциальное уравнение 1 го порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно имеет вид: Для решения уравнения делят обе его части на произведение функций, а затем интегрируют.

Однородные уравнения Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если его можно привести к виду y = или к виду где и – однородные функции одного порядка.

Линейные уравнения 1 го порядка Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно содержит у и у‘ в первой степени, т. е. имеет вид. Решают такое уравнение с помощью подстановки y=uv, где u и v вспомогательные неизвестные функции, которые находят, подставляя в уравнение вспомогательные функции и на одну из функций налагают определенные условия.

Уравнение Бернулли Уравнением Бернулли называется уравнение 1 го порядка, имеющее вид, где и Его, как и линейное уравнение решают с помощью подстановки

Дифференциальные уравнения 2 го порядка Уравнение 2 го порядка имеет вид Или Общим решением уравнения второго порядка называется такая функция, которая при любых значениях параметров является решением этого уравнения.

Задача Коши для уравнения 2 го порядка Если уравнение 2 го порядка разрешить относительно второй производной, то для такого уравнения имеет место задача: найти решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям: и Эту задачу называют задачей Коши для дифференциального уравнения 2 гопорядка.

Теорема существования и единственности решения уравнения 2 го порядка Если в уравнении функция и ее частные производные по аргументам и непрерывны в некоторой области, содержащей точку, то существует и притом единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее условиям и.

Уравнения 2 го порядка, допускающие понижение порядка Простейшее уравнение 2 го порядка решают двукратным интегрированием. Уравнение, не содержащее явно у, решают с помощью подстановки, Уравнение, не содержащее х, решают заменой, .

Линейные однородные уравнения Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение Если все коэффициенты этого уравнения постоянны, то уравнение называется уравнением с постоянными коэффициентами.

Свойства решений линейного однородного уравнения Теорема 1. Если у(х) является решением уравнения, то и Су(х), где С константа, также является решением этого уравнения.

Свойства решений линейного однородного уравнения Теорема 2. Если и решения уравнения, то и их сумма также является решением этого уравнения. Следствие. Если и решения уравнения, то функция также решение этого уравнения.

Линейно зависимые и линейно независимые функции Две функции и называются линейно зависимыми на некотором промежутке, если можно подобрать такие числа и, не равные нулю одновременно, что линейная комбинация этих функций тождественно равна нулю на этом промежутке, т. е.

Если таких чисел подобрать нельзя, то функции и называются линейно независимыми на указанном промежутке. Функции будут линейно зависимыми тогда и только тогда, когда их отношение постоянно, т. е.

Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения 2 го порядка Если линейно независимые частные решения ЛОУ 2 го порядка, то их линейная комбинация где и произвольные постоянные, является общим решением этого уравнения.

Линейное однородное уравнение 2 го порядка с постоянными коэффициентами Уравнение называется характеристическим уравнением линейного уравнения. Оно получается из ЛОУ заменой соотстветствующей порядку производной степенью k.

Транскрипт

1 ПА Вельмисов ЮВ Покладова Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Учебное пособие Ульяновск УлГТУ

2 УДК (7 ББК я7 В 8 Рецензенты: кафедра прикладной математики УлГУ (зав кафедрой д-р физ-мат наук профессор А А Бутов; д-р физ-мат наук профессор УлГУ А С Андреев Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия Вельмисов П А В 8 Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных: учебное пособие / П А Вельмисов Ю В Покладова Ульяновск: УлГТУ с ISBN Пособие предназначено для бакалавров всех специальностей изучающих раздел «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных» Пособие содержит краткий теоретический материал теоретические вопросы индивидуальные задания примеры решения задач и предназначено для обеспечения самостоятельной работы студентов по освоению раздела Работа выполнена на кафедре «Высшая математика» УлГТУ Печатается в авторской редакции УДК (7 ББК я7 Вельмисов П А Покладова Ю В ISBN Оформление УлГТУ

3 СОДЕРЖАНИЕ Введение Теоретические вопросы Теоретический материал и примеры решения задач Область определения функции нескольких переменных Пример решения задачи Частные производные Пример решения задачи 8 Производные сложной функции 8 Пример решения задачи 9 Производные неявной функции Пример решения задачи Дифференциал Пример решения задачи Применение дифференциала в приближенных вычислениях значений функций 7 Пример решения задачи 7 7 Формулы Тейлора и Маклорена 8 Пример решения задачи Касательная плоскость и нормаль к поверхности 9 Пример решения задачи Градиент и производная по направлению Пример решения задачи 9 Экстремум функции нескольких переменных Пример решения задачи Пример решения задачи Условный экстремум функции нескольких переменных Пример решения задачи 7 Наименьшее и наибольшее значение функции двух переменных в области 9 Пример решения задачи 9 Метод наименьших квадратов Пример решения задачи Пример решения задачи Пример решения задачи 8 Расчетные задания 9 Список литературы

4 ВВЕДЕНИЕ Активная самостоятельная работа студентов является важным фактором усвоения математики и овладения ее методами Система типовых расчетов активизирует самостоятельную работу студентов и способствует более глубокому изучению курса высшей математики Настоящее пособие предназначено для бакалавров всех специальностей изучающих раздел «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных» Оно направлено на выработку у студентов навыков решения типовых задач Пособие содержит краткий теоретический материал теоретические вопросы индивидуальные задания примеры решения задач и предназначено для обеспечения самостоятельной работы студентов по освоению раздела Теоретические вопросы являются общими для всех студентов; каждая из задач входящих в данное пособие представлена 8 вариантами По каждой теме кратко изложены основные теоретические сведения приведены решения типовых примеров В решениях приведены основные формулы правила ссылки на теорию

5 Теоретические вопросы Определение функции двух переменных ее области определения Геометрическое истолкование этих понятий Понятие функции трех переменных Понятие предела функций двух и трех переменных в точке Понятие непрерывной функции нескольких переменных Частные производные функций двух и трех переменных Определение функции дифференцируемой в точке Дифференциал первого порядка функций двух и трех переменных Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности Частные производные сложной функции нескольких независимых переменных Полная производная 7 Дифференцирование неявных функций одной и нескольких независимых переменных 8 Определение частных производных высших порядков Дифференциал второго порядка функций двух и трех переменных 9 Формула Тейлора и формула Маклорена для функции двух переменных Градиент и производная по направлению Понятие точки экстремума функций двух и трех переменных Необходимые и достаточные условия экстремума функции двух переменных Необходимые и достаточные условия экстремума функции трех переменных Понятие точки условного экстремума функции двух переменных Необходимые и достаточные условия условного экстремума функции двух переменных Метод множителей Лагранжа Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в замкнутой ограниченной области 7 Метод наименьших квадратов

6 Теоретический материал и примеры решения задач Область определения функции нескольких переменных Пусть D - множество пар значений независимых переменных и Определение Если каждой паре D поставлено в соответствие некоторое значение переменной величины то говорят что - функция двух независимых переменных и определенная на множестве D (обозначается: f Множество D для элементов которого существуют значения называется областью определения функции f (Определение Если каждой совокупности значений независимых переменных из некоторого множества D R соответствует определенное значение переменной u то говорят что u - функция переменных определенная на множестве D (u f Пример решения задачи Найти и изобразить область определения функции = (Решение: Логарифмическая функция определена только при положительном значении аргумента поэтому > или < Значит границей области будет парабола = Кроме того знаменатель не должен быть равен нулю поэтому или Таким образом область определения функции состоит из точек расположенных ниже (внутри параболы = за исключением прямых = = Частные производные Определение Частным приращением функции u f в точке M по переменной k называется разность u f k k k k f k k k k Определение Частной производной функции u f по переменной k k в точке M называется предел (если он существует u f k k k k f k k k k lm lm k k k k

7 Обозначается u f или u k k k f k В случае необходимости указываются переменные от которых зависит функция например f k Для функции f двух переменных по определению имеем f f f f lm - частная производная по f f f f lm - частная производная по Применяются также обозначения в которых штрих сверху не ставится например f f f k Замечание В соответствии с определением частная производная по переменной k k вычисляется по обычным правилам и формулам дифференцирования справедливым для функции одной переменной (при этом все переменные кроме k рассматриваются как постоянные Например при вычислении частной производной по переменной от функции f переменная считается постоянной и наоборот Определение Частными производными -го порядка функции u f называются частные производные от ее частных производных первого порядка Согласно определению производные второго порядка обозначаются и находятся следующим образом: u u u - производная второго порядка по переменной k k k k k k u u u - смешанная производная второго порядка по k k k переменным k и f: В частности для функций двух переменных Штрихи сверху можно опустить Аналогично определяются и обозначаются частные производные порядка выше второго Замечание Результат многократного дифференцирования функции по различным переменным не зависит от очередности дифференцирования при условии что возникающие при этом смешанные частные производные непрерывны 7

8 Пример решения задачи Дана функция s Показать что Решение Найдем частные производные os ; os ; os os s ; os s ; os os s Подставляя найденные частные производные в левую часть данного уравнения получим тождество os s что и требовалось доказать os s s Производные сложной функции Пусть u f (- дифференцируемая функция переменных которые сами являются дифференцируемыми функциями независимой переменной t: (t (t (t Тогда производная сложной функции u f ((t (t (t по переменной t вычисляется по формуле: du u d u d u d (dt dt dt dt Если u f (t где (t (t (t то производная функции u по t (она называется полной производной равна du u u d u d u d (dt t dt dt dt Пусть u f (где (t t t m (t t t m (t t t m при этом t t t - независимые переменные Частные m производные функции u по переменным t t t выражаются следующим m образом: u u u u t t t t 8

9 u t k u t u u u t t t (u u u u tm t m t m t m Если u f (t t m где (t t t m то f f l t l t k m k l k Пример решения задачи Найти производную du dt сложной функции u t t ost Решение Так как функция u является функцией одной независимой du переменной t то необходимо вычислить обыкновенную производную dt du u d u d u d Воспользуемся формулой (: dt dt dt dt Находим входящие в эту формулу производные: u u u d d d t s t dt t dt dt Подставим их в формулу (du t (s t dt t Выразим переменные через t du t os t t t os t t t t dt t t os t t ost 8(t ost (t t s t t os t s t Найти частные производные u osv l(v w w e v e u u сложной функции 9

10 Решение Функция u является функцией двух переменных v и w Переменные v и w в свою очередь являются функциями двух независимых переменных и Найдем частные производные: w w v e v e u v u w e e s v v v w w v w u u Производные найдем по формулам (: u u v u w v sv v w v w s(e (e (e (e e e w v w (e (e s(e e e ; (e (e (e (e u u v u w v w s v e e v w v w v w (e (e (e e e Производные неявной функции заданной с F вычисляются по формулам u F (u k F k u (u k (при условии что F (u Частные производные неявной функции u f помощью уравнения u u В частности производная неявной функции (заданной с помощью уравнения F (может быть вычислена по формуле: d F (d F при условии что F ; частные производные неявной функции (заданной уравнением F (находятся следующим образом: F F (F F при условии что F Замечание Частная производная по переменной k от функции u f заданной уравнением F u может быть

11 найдена также с помощью дифференцирования этого уравнения по k при этом необходимо учесть зависимость u от k В частности производная неявной функции (заданной с помощью уравнения F (может быть найдена дифференцированием уравнения F (по переменной х при этом необходимо учесть зависимость от х Замечание Производные высших порядков вычисляются на основе формул (((или с помощью дифференцирования уравнений F u F (F (соответствующее число раз Пример решения задачи Найти производную первого порядка неявной функции (заданной уравнением l tg Решение способ: Производная неявной функции (заданной с помощью уравнения d F F (может быть вычислена по формуле (: d F (F F os (os (Находим производную неявной функции: d F os (os (d F os (os (В данном случае F l tg способ: Продифференцируем обе части уравнения l tg переменной х считая у функцией от х: l (tg (os Выражаем: os (os (по Найти частные производные первого порядка неявной функции (заданной уравнением

12 Решение способ: Производные неявной функции (заданной с помощью F уравнения F (могут быть вычислены по формуле (: F F F В данном случае F(F F Найдем частные производные неявной функции: F F F F F способ: Продифференцируем обе части уравнения по переменной х считая функцией от: ((Выражаем: Аналогично продифференцируем обе части уравнения по переменной считая функцией от: ((Выражаем: Найти производную второго порядка неявной функции (заданной уравнением l Решение способ: Производная неявной функции (заданной с помощью уравнения d F F (может быть вычислена по формуле (: d F В данном случае d Находим производную: d F(l F F

13 F F d d Вторую производную находим по правилу дифференцирования сложной функции учитывая что у зависит от х (((d d d d d d d d d d d d d d Подставляя d d в полученное выражение находим: (d d способ: Продифференцируем обе части уравнения l по переменной х считая у функцией от х: ((l ; (Продифференцируем еще раз обе части уравнения по переменной х считая у функцией от х: (Выражаем ((Подставим в полученное выражение: (Найти частные производные второго порядка неявной функции (заданной уравнением Решение способ: Производные неявной функции (заданной с помощью уравнения (F могут быть вычислены по формуле (: F F F F

14 В данном случае (F F F F Найдем частные производные неявной функции: F F F F Вторую производную находим по правилу дифференцирования сложной функции считая функцией от: Подставляя в полученные выражения находим: 9 способ: Продифференцируем обе части уравнения по переменной х считая функцией от: (Выражаем: Продифференцируем еще раз обе части уравнения по переменной считая функцией от: Выражаем

15 Подставим в полученное выражение: Аналогично находятся производные 9 Для нахождения необходимо исходное уравнение продифференцировать дважды по считая функцией от Для нахождения смешанной производной исходное уравнение дифференцируется сначала по а затем по (или наоборот Дифференциал Определение Полным приращением функции u f M называется разность u f f Определение Функция u f в точке M в точке соответствующим приращениям аргументов называется дифференцируемой если в некоторой окрестности этой точки полное приращение функции может быть представлено в виде u A A A o((где A A A - числа не зависящие от Определение Дифференциалом du первого порядка функции u f в точке M называется главная часть полного приращения этой функции в рассматриваемой точке линейная относительно: du A A A Для дифференциала функции u f справедлива формула u u u du d d d (где d d d В частности для функции f двух переменных имеем

16 Дифференциал символической формулой d d d (k го порядка функции u f выражается k d u d d d u (В частности для du имеет место формула (а d u находится следующим образом u d u dk d (m k m km Например в случае функции f двух переменных для дифференциалов -го и -го порядков справедливы формулы d d dd d d d d d dd d (k (7 Пример решения задачи Найти дифференциал третьего порядка d u функции u e l Решение Найдем все частные производные до третьего порядка включительно: u e u e l u e u e l u e u e u e u e l Найдем дифференциал третьего порядка функции u двух переменных по формулам ((7: u u u u d u d d d dd d e d e d d e dd e l d Найти дифференциал второго порядка d u функции u Решение Для нахождения дифференциала второго порядка функции трех переменных воспользуемся формулами ((:

17 d u d d d u u u u u u u d d d dd dd dd Найдем все частные производные до второго порядка включительно: u u u u u u u u u Найдем дифференциал второго порядка функции u трех переменных: d u d d d dd dd dd Применение дифференциала в приближенных вычислениях значений функций При достаточно малом согласно формуле (для дифференцируемой функции u f имеет место приближенное равенство u du или f f df где df определяется формулой (В частности для функции f двух переменных при достаточно малых имеет место приближенное равенство d или f f f (f ((Запишем формулу (в точке (: f f f f (((Вводя формулу (перепишем в виде f f f ((f (((Имея значения функции f и ее частных производных в точке по формуле (можно вычислить значение функции f в точке расположенной достаточно близко от точки Пример решения задачи Вычислить приближенное значение функции (в точке А(9; Решение Приближенное значение функции (в точке А вычислим используя формулу (: 7

18 ((((Имеем 9 ; положим Вычислим значение функции в точке с координатами: Так как ((то (Подставим в формулу: 9; (9 (9 (7 Формулы Тейлора и Маклорена Для функции f двух переменных в точке формула Тейлора имеет вид df (d f (d f (f (f (R (7!!! где R o(- остаточный член В частности с точностью до членов второго порядка относительно формулу Тейлора можно представить в виде f (f (f ((f ((! 8 f ((f (((f ((R! В частном случае при формула (7 называется формулой Маклорена Пример решения задачи 7 Разложить функцию (e в окрестности точки М(ограничиваясь членами второго порядка включительно Решение В данном случае формула Тейлора (7 принимает вид df (d f (f (f (R где R - остаточный член!! формулы Тейлора Найдем значения всех частных производных функции до второго порядка включительно в точке М: (e ((e (((e ((e 9 (9 (e ((Составим дифференциалы функции до второго порядка включительно d((d (d d d

19 d ((d (dd (d d dd 9d Учитывая что d d получим: (((9(e ((R 8 Касательная плоскость и нормаль к поверхности Определение Касательной плоскостью к поверхности в ее точке M (точка касания называется плоскость содержащая в себе все касательные к кривым проведенным на поверхности через эту точку Определение Нормалью к поверхности в ее точке M называется прямая перпендикулярная к касательной плоскости в этой точке и проходящая через точку касания M Если уравнение поверхности задано в явной форме f то уравнение касательной плоскости в точке M (имеет вид f (f (((8 Уравнения нормали (f (f ((8 Если уравнение поверхности задано в неявной форме F (то уравнение касательной плоскости в точке M (имеет вид F (F((F((8 (Уравнения нормали (8 F(F(F (Пример решения задачи 8 8 Составить уравнение касательной плоскости и уравнения нормали к поверхности в точке M (7 Решение Если уравнение поверхности задано в явной форме f то уравнение касательной плоскости в точке M (имеет вид (8 f (f ((а уравнения нормали вид (8 f ((f (9

20 Найдем значения частных производных f f в точке М: f f f (f (Подставляя найденные значения в уравнения касательной плоскости и нормали получим: 7 ((или - уравнение касательной 7 плоскости; - уравнения нормали 8 Составить уравнение касательной плоскости и уравнения нормали к поверхности 7 в точке M (Решение Если уравнение поверхности задано в неявной форме F (то уравнение касательной плоскости в точке M (имеет вид (8 F (F((F((Нормаль определяется уравнениями (8 F(F(F (Найдем значения частных производных F F F в точке M: F F F F (F (F (Подставляя найденные значения в уравнения касательной плоскости и нормали получим: (или - уравнение касательной плоскости; - уравнения нормали 9 Градиент и производная по направлению Пусть функция f определена в окрестности точки и пусть - вектор исходящий из этой точки На векторе возьмем точку M (Определение Производной функции f по направлению в точке M (называется предел (если он существует f (f (f (M f (M (M lm lm M M M где MM M Понятие производной по направлению является обобщением понятия частных производных Производная по направлению в точке M характеризует изменение функции в этой точке в направлении вектора Если функция f дифференцируема в точке M (то в этой точке

21 os os где os os - направляющие косинусы вектора Определение Градиентом функции f в точке M (называется вектор проекциями которого являются значения частных производных функции в этой точке те grd j (9 Замечание Аналогично определяются производная по направлению и градиент функции переменных Градиент и производная по направлению связаны между собой соотношением (grd (9 те производная по направлению равна скалярному произведению градиента и единичного вектора Пример решения задачи 9 Даны: функция (rs точка A и вектор Найти: grd в точке А; производную в точке А по направлению вектора Решение Найдем grd в точке А для этого вычислим и в точке А Имеем: (A (A Таким образом grd (A j Для нахождения производной функции f (в направлении вектора воспользуемся формулой (9 Для этого найдем единичный вектор тогда (A grd (A 7

22 Экстремум функции нескольких переменных Пусть функция u f точки M определена в некоторой окрестности Определение Функция u f точке имеет максимум (минимум в M если существует такая окрестность точки M в которой для всех точек M (M M выполняется неравенство f M f M (соответственно f M f M Максимум или минимум функции называется ее экстремумом а точки в которых функция имеет экстремум называются точками экстремума (максимума или минимума Необходимое условие экстремума Если функция u f имеет экстремум в точке M то в этой точке f (M Точки в которых выполняются эти условия называются стационарными u f точками функции Достаточное условие экстремума Пусть M - стационарная точка функции u f причем эта функция дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки M и все ее вторые частные производные непрерывны в точке M Тогда: если d u d u при любых значениях не равных одновременно нулю то функция u f имеет в точке M минимум (максимум; если d u принимает значения разных знаков в зависимости от то экстремума в точке M нет; если d u для набора значений не равных нулю одновременно то требуются дополнительные исследования Рассмотрим случай функции двух переменных Определение Функция f (имеет максимум (минимум в точке M (если существует такая окрестность точки M в которой для всех точек M(отличных от M выполняется неравенство f (f (f (f (Необходимое условие экстремума функции двух переменных Если дифференцируемая функция f (достигает экстремума в точке

23 M (те то в этой точке частные производные первого порядка равны нулю f f (((Достаточное условие экстремума функции двух переменных Введем обозначения: A f B f C f D AB C (((Пусть M (- стационарная точка функции f (и пусть в окрестности точки M функция имеет непрерывные частные производные второго порядка Тогда: если D то функция f (имеет в точке M (экстремум а именно максимум при A B и минимум при A B ; если D то экстремум в точке M (отсутствует; если D то требуются дополнительные исследования Рассмотрим случай функции u f (трех переменных Критерий Сильвестра Для того чтобы выполнялось неравенство d u при любых значениях d d d не равных нулю одновременно необходимо и достаточно чтобы: u u u u u u u u u u u u u u Для того чтобы выполнялось неравенство d u при любых значениях d d d не равных нулю одновременно необходимо и достаточно чтобы: u u u u u u u u u u u u u u Следует помнить что все производные вычислены в точке M (Пример решения задачи 8 Найти экстремумы функции двух переменных (Решение Если дифференцируемая функция f (достигает экстремума в точке M (то согласно необходимому условию экстремума в этой точке частные производные первого порядка равны нулю 8 Найдем стационарные точки функции (:

24 8 Решая данную систему получаем две стационарные точки M (- M (-- Воспользуемся достаточным условием экстремума функции двух переменных Найдем A f B f C f (((D AB C Рассмотрим точку M (-: A B C Так как D 8 то точка M (- является точкой экстремума а именно минимума так как A Найдем минимум функции: m 7 Рассмотрим точку M (--: A B C Так как D 8 то в точке M (-- экстремума нет Пример решения задачи Найти экстремумы функции трех переменных u Решение Найдем стационарные точки заданной функции u Для этого составим систему уравнений: u u u решая которую получим; ; Найдем частные производные второго порядка: u u u u u u Вычислим их значения в стационарной точке M (;; : u u u u u u Найдем дифференциал второго порядка функции u в стационарной точке M (;; : d u d d d dd dd Воспользуемся критерием Сильвестра В данной задаче:

25 u u u u u u 8 u u u u u u u u Согласно критерию Сильвестра d u Значит точка M (;; является точкой минимума функции u согласно достаточному условию экстремума Значение функции в точке минимума u m Условный экстремум Рассмотрим задачу о нахождении экстремума функции u f при условии что связаны уравнениями k k m; m (Уравнения (называются уравнениями связи Определение Функция u f имеет условный максимум (условный минимум в точке M если существует такая окрестность точки M в которой для всех точек M (M M удовлетворяющих уравнениям связи выполняется неравенство f M f M (соответственно f M f M Задача нахождения условного экстремума сводится к исследованию на обычный экстремум функции Лагранжа m L m f kk k где постоянные k m k называются множителями Лагранжа Необходимое условие условного экстремума Если функция u f имеет условный экстремум в точке M то в этой точке L (M L (M k m Для нахождения точки в которой возможен условный экстремум будем иметь систему m уравнений: L (k k m k

26 из которой находятся неизвестные m Достаточное условие условного экстремума Пусть решения системы (Функция u f имеет в точке m M условный максимум если d L и условный минимум если d L при любых значениях что m m d d d не равных нулю одновременно и таких k d d k m k Условный экстремум функции двух переменных В случае функции f двух переменных при уравнении связи (функция Лагранжа примет вид L f (Система (запишется в виде L (f ((L (f ((((Пусть - решение этой системы и (L (L (((L ((L (Тогда если f имеет в точке M (условный максимум; если условный минимум то функция Можно также применить критерий Сильвестра для функции Лагранжа Критерий Сильвестра: d L (функция имеет условный минимум тогда и только тогда когда L L L L L и d L (функция имеет условный максимум тогда и только тогда когда L L L L L

27 для любых значений d d d d не равных нулю одновременно и таких что Пример решения задачи Найти условный экстремум функции двух переменных если уравнение связи имеет вид Решение Составляем функцию Лагранжа: L(f (ost Найдем точки в которых возможен условный экстремум Для этого составим систему уравнений (: L L Из первого и второго уравнений системы находим и приравниваем полученные выражения: или отсюда Рассмотрим два случая: тогда Подставляем в уравнение связи: ; находим два корня тогда Значения не являются решениями системы значения - ее решения при 9 тогда Подставляем в уравнение связи: ((или 8 что неверно Решений нет Значит система имеет единственное решение 9 Способ Воспользуемся достаточным условием условного экстремума Найдем частные производные: L L L и составим определитель: ((9 9 (((9 L L (((9 L L Вывод: функция имеет в точке M (условный максимум Значение функции в точке условного максимума 7 m

28 Способ: L L L Найдем дифференциал второго порядка функции L в точке M (при: 9 d L(L (d L (dd L (d d Воспользуемся критерием Сильвестра: 9 dd d Значит d L для любых значений d d не равных нулю одновременно Таким образом функция имеет в точке M (условный максимум Значение функции в точке условного максимума есть m Пример решения задачи Найти условный экстремум функции 8 при уравнении связи Решение Способ Составим функцию Лагранжа: L(f (8 ost Найдем точки в которых возможен условный экстремум Для этого составляем систему уравнений: L L и решаем ее Из первого уравнения выражаем из второго уравнения выражаем Приравнивая третье уравнение Таким образом система имеет единственное решение Находим d L(L (d L (dd L (d d d 8 Дифференцируя уравнение связи получаем d d откуда d d Подставляя d в выражение для d L получаем: 8

29 d L d d d Значит функция имеет условный максимум при Значение функции в точке условного максимума есть m Способ В данном случае переменная легко выражается через из уравнения связи: Подставляя в уравнение функции мы получаем функцию одной переменной: 8 8 Исследуя функцию одной переменной на 8 экстремум получаем: - точка локального максимума - максимальное значение функции в этой точке Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в области Если функция f (дифференцируема в ограниченной замкнутой области D то она достигает своего наибольшего (наименьшего значения или в стационарной или в граничной точке области D Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции дифференцируемой в ограниченной замкнутой области нужно: найти стационарные точки расположенные в данной области и вычислить значения функции в этих точках; найти наибольшее и наименьшее значения функции на линиях образующих границу области; из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее Пример решения задачи Найти наименьшее и наибольшее значения функции в ограниченной замкнутой области D заданной системой неравенств Решение Область D представляет собой треугольник ограниченный координатными осями и прямой 9

30 Найдем стационарные точки функции внутри области D В этих точках частные производные равны нулю: Решая данную систему получим точку K Эта точка не принадлежит области D 8 8 следовательно в области D стационарных точек нет Исследуем функцию на границе области Поскольку граница состоит из трех участков описываемых тремя различными уравнениями то будем исследовать функцию на каждом участке отдельно: На этом участке (Так как - возрастающая функция переменной при то на отрезке наименьшее значение функции будет в точке (: (а наибольшее в точке (: (На этом участке (Найдем производную Из уравнения получаем Таким образом наибольшее и наименьшее значения функции на границе находятся среди ее значений в точках ((Найдем эти значения: ((или (На этом участке 7 Решая уравнение 8 7 получим 7 следовательно 8 7 Значение функции в этой точке равно (а на концах отрезка значения функции найдены выше Сравнивая полученные значения (((((заключаем что наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области D равны соответственно (наиб и (наим Пример решения задачи Найти наименьшее и наибольшее значения функции в замкнутой области D заданной неравенством Решение Область D представляет собой центром в начале координат круг радиуса с

31 Найдем стационарные точки функции внутри области D В этих точках частные производные равны нулю: Следовательно стационарных точек нет Исследуем функцию на границе области Составляем функцию Лагранжа L (Используя необходимые условия существования экстремума получим систему уравнений L L Решим полученную систему Из первого уравнения выражаем из второго уравнения выражаем Приравнивая получаем Подставим в третье уравнение Таким образом имеем две точки M M Найдем значения функции в полученных точках: M (M (Таким образом наибольшее значение функции равно наиб (M ; наименьшее значение функции равно наим (M Метод наименьших квадратов В различных исследованиях на основании эксперимента требуется установить аналитическую зависимость f (между двумя переменными величинами и Широко распространенным методом решения этой задачи является метод наименьших квадратов Пусть в результате эксперимента получено значений функции при соответствующих значениях аргумента Результаты сведены в таблицу х у

32 Вначале устанавливается вид аппроксимирующей функции (или из теоретических соображений или на основании характера расположения на плоскости O точек соответствующих экспериментальным значениям Далее при выбранном виде функции необходимо подобрать входящие в нее параметры так чтобы она наилучшим образом отражала рассматриваемую зависимость Метод наименьших квадратов заключается в следующем Рассмотрим сумму квадратов разностей значений полученных в результате эксперимента а также найденных в результате вычисления значений функции (в соответствующих точках: S (((Подберем параметры так чтобы эта сумма имела наименьшее значение Таким образом задача свелась к исследованию функции (S на экстремум Из необходимого условия экстремума функции нескольких переменных следует что эти значения удовлетворяют системе уравнений S S S или в развернутом виде (В случае линейной аппроксимации вида функция (S принимает вид S ((Это функция с двумя переменными и Исследуем ее на экстремум Запишем необходимые условия экстремума: ((S S

33 Отсюда получаем следующую систему уравнений относительно неизвестных и (Можно показать что система (имеет единственное решение и при найденных значениях и функция (S имеет минимум В случае квадратичной аппроксимации вида функция (имеет вид S ((Система уравнений (принимает вид (((или в развернутой форме (Получили систему трех линейных уравнений для определения трех неизвестных Если требуется найти функцию вида то функция (запишется в виде S (Система уравнений (для определения неизвестных параметров принимает вид

34 или в развернутой форме (Пример решения задачи Экспериментально получены пять значений функции (f при пяти значениях аргумента которые записаны в таблице Методом наименьших квадратов найти функцию вида выражающую приближенно функцию (f Сделать чертеж на котором в декартовой прямоугольной системе координат построить экспериментальные точки и график аппроксимирующей функции Решение Будем искать функцию (f в виде линейной функции Система (принимает вид: Учитывая что

35 7 будем иметь 7 Решая эту систему находим: 7 Уравнение искомой прямой имеет вид: 7 Строим график у х Пример решения задачи Экспериментально получены шесть значений функции f (при шести значениях аргумента которые записаны в таблице 7 Методом наименьших квадратов найти функцию вида выражающую приближенно функцию f (Сделать чертеж на котором в декартовой прямоугольной системе координат построить экспериментальные точки и график аппроксимирующей функции Решение Будем искать функцию f (в виде квадратичной функции Система (принимает вид: Учитывая что

36 будем иметь Решая эту систему находим: Уравнение искомой функции имеет вид: Строим график Экспериментально получены пять значений функции f (при пяти значениях аргумента которые записаны в таблице Методом наименьших квадратов найти функцию вида выражающую приближенно функцию f (Сделать чертеж на котором

37 в декартовой прямоугольной системе координат построить экспериментальные точки и график аппроксимирующей функции Решение Будем искать функцию f (в виде функции Система (принимает вид: Учитывая что будем иметь Решая эту систему находим: 7 87 Уравнение искомой функции имеет вид: 7 87 Строим график 7

38 Пример решения задачи Из прямоугольного листа жести шириной а изготовить желоб призматической формы чтобы его поперечное сечение имело наибольшую площадь Решение Пусть ABCD лист жести =AD Обозначим =AE тогда FD = EF = (рис Из листа жести изготовили желоб с поперечным сечением ADFE (рис тогда нижнее основание желоба равно EF = боковая сторона равна FD = A E B F D - Рис Лист жести C A G D α α E F Рис Поперечное сечение желоба Сечение желоба представляет собой равнобокую трапецию следует найти ее верхнее основание и высоту Обозначим через величину угла: ADF Из точки F опускаем перпендикуляр FG на сторону AD из треугольника GDF находим GD os и высоту трапеции GF s отсюда AD EF GD os - верхнее основание трапеции Обозначим через площадь трапеции ADFE Тогда s s s os Имеем функцию двух переменных Требуется найти наибольшее значение функции в области Составим систему для нахождения стационарных точек функции: s s s os os os os По условию задачи s поэтому система уравнений принимает вид os os os os Решая систему находим: os По условию данной задачи максимум функции существует следовательно максимальное значение функции будет при 8

39 Расчетные задания Задача Найти и изобразить области определения следующих функций: ((= + =l(+ +l l (=l (9 + l = = = + + = e 8 = ros (+ + =l(+l (s 9 = + = rs (=l(+ 7 = = + 8 =l(+l (os = l (+ 9 l (= + =e =l(+ + =l(+ =9 + = l (+ = ros (+ = l (= + 7 = rs (=l(+ 8 =l(+l (s Задача Проверить удовлетворяет ли функция f (уравнению f (уравнение l e 9 данному

40 f (уравнение s 9 l e e os s (9 rtg (s os (7 e 8 rs((9 tg s 7 9 l s os e e e

41 f (уравнение l 7 8 s os ros Задача Найти производные сложной функции u(производные u l u du? d du u rs s t os t? dt u v w w v u u? w v u t t t du? dt v w u u u w s v os? w v t du u r tg e lt? dt 7 u e l u du? d 8 u v w l(v w w e v e u u? 9 u t t t du? dt u e u u v os w w s v? w v u os u du? d

42 u(производные u tg t t e s t e os t du? dt v u u u w w v os? w e e u du u l? d u rtg t e t du? dt u e u u v os w ws v? w v u du 7 u tg? d du 8 u t t s t? dt rsv 7 u u 9 u w v l w 7? u u u e lw w s v? w v u du u e? d du u ros s t os t? dt w u u u tg lw v? v w v v w 7 u u u w v os? w u du u l e e? d du u rtg os t s t? dt u u 7 u r tg lw v wv? w v du 8 u lt t t? dt

43 Задача Найти первую производную неявной функции функция функция s tg os l e 7 e l 7 8 os os os rtg l 9 7 e e 8 s 9 tg (e 7 os rtg rtg e 7 os l l 8 Задача Найти дифференциалы -го порядка (- независимые переменные d u следующих функций u e os 7 u l l u 8 u e u 9 u s u e u u s(os(u l os u l(u e

44 Задача Вычислить приближенное значение функции ((координаты точки А (в точке А координаты точки А (9; (-98; 97 (98; 9 (98; 9 l (8; 7 rtg (; 9 (; 9 8 os (99; 7 (9; 9 (; 9 u os u s u u u u u u l(7 u l s u e s 8 u u os e 9 u l l 7 u u e 8 u (98; (97; 98 (; 9 (; 98 7 s 8 l (; 98 (98; 9 (9; (9; rs (99; s (; 98 e (; 97 (; 9 s (; 97 (; 97 (; 9 7 l e e (98; rs (; 9 8 (97;

45 Задача 7 Разложить функцию (по формуле Тейлора в точке М ограничиваясь членами второго порядка включительно (М (М s os e (e (- 7 s s (8 l l ((9 ((s s Разложить функцию (по формуле Маклорена в точке М ограничиваясь членами третьего порядка включительно (((e os s l(e l Разложить функцию (по формуле Тейлора в точке М (М (М (- (- (- (- (7 ((- 8 ((7 os s e s 8 os l(e os os 9 e os l

46 Задача 8 Составить уравнения касательной плоскости и нормали к указанной поверхности в точке А поверхность А (; ; (; ; 8 (; ; - (; ; l (; ; (; ; 7 (; ; 8 (; ; (-; ; (; ; 8 8 (; -; (; ; (-; -; l (; ; (; ; (-; ; 7 (; ; 8 (; ; 9 (; ; 9 e (; -/; l (; ; (; ; 8 (; ; - (; ; (; ; 7

47 поверхность А (; ; 7 l8 (-/; ; 8 (; ; 7 Задача 9 Дана функция (точка A(и вектор (Найти: grd в точке А; производную в точке А по направлению вектора (А а rtg ((- (- ((l ((- (- (- ((- l ((- 7 ((8 e ((9 ((- rtg ((- (- - ((- (- (rs ((- s ((- (- (- ((- 7

48 (А а 7 e ((8 8 l 9 ((((((rtg (((- rs ((- l ((- 7 ((- ((e ((- l (- (7 8 s (- (- Задача Найти экстремумы функции двух переменных (((l 8l 8 l l 9 (> l l 7 9 9

49 ((l l 8l 8 l l 7 l l 8 9 l l 8 Задача Найти экстремумы функции трех переменных u (u (u (8 9 l 88l 7l (9

50 u (u (((7 8 Задача Найти условный экстремум функции (уравнении связи (уравнение связи 9 l l при указанном

51 (уравнение связи l l l 7 l

52 Задача Найти наименьшее и наибольшее значение функции (в замкнутой области D заданной системой неравенств (область D

53 (область D Задача Экспериментально получены пять значений функции f (при пяти значениях аргумента которые записаны в таблице Методом наименьших квадратов найти функцию вида Y X выражающую приближенно (аппроксимирующую функцию f (Сделать чертеж на котором в декартовой прямоугольной системе координат изобразить экспериментальные точки и график аппроксимирующей функции Y X х

54 х Задача Экспериментально получены значения функции f (которые записаны в таблице Методом наименьших квадратов найти функцию вида Y X X (для нечетных вариантов и Y (для четных X X вариантов аппроксимирующую функцию f (Сделать чертеж на котором в декартовой прямоугольной системе координат изобразить экспериментальные точки и график аппроксимирующей функции х х

55 Задача Решить прикладные задачи на наибольшее и наименьшее значения Найти размеры цилиндра наибольшего объема изготовленного из заготовки в форме шара радиуса R Крыша дома имеет поперечное сечение в форме равнобедренного треугольника Каковы должны быть размеры поперечного сечения помещения прямоугольной формы встроенного на чердаке чтобы объем помещения был наибольшим Найти размеры заготовки наибольшего периметра в форме прямоугольного треугольника гипотенуза которого задана Изготовить из жести прямоугольную коробку (без крышки данной емкости V с наименьшими затратами материала В шар диаметра d вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего объема Найти размеры цилиндрического сосуда наибольшей вместимости с поверхностью S 7 Имеется прямоугольный лист железа заданных размеров Вырезать в его углах одинаковые квадраты такого размера чтобы объем получившейся при загибании краев емкости был наибольшим 8 Поверхность прямоугольного параллелепипеда равна Q Найти размеры параллелепипеда наибольшего объема 9 Сумма ребер прямоугольного параллелепипеда равна Найти размеры параллелепипеда наибольшего объема Найти прямоугольный параллелепипед наибольшего объема при условии что длина его диагонали равна d Найти конус вращения объема V с наименьшей полной поверхностью В шар диаметра d вписать цилиндр с наименьшей полной поверхностью Из всех прямоугольных параллелепипедов с полной поверхностью S найти тот который имеет наибольший объем Определить размеры конуса наибольшего объема при условии что его боковая поверхность равна S Из всех прямоугольных треугольников площадью S найти такой гипотенуза которого имеет наименьшее значение Из всех треугольников вписанных в круг найти тот площадь которого наибольшая 7 Из всех треугольников имеющих периметр p найти наибольший по площади 8 Из всех прямоугольников с заданной площадью S найти такой периметр которого имеет наименьшее значение 9 Из всех прямоугольных параллелепипедов объемом V найти тот полная поверхность которого наименьшая Представить число в виде произведения четырех положительных сомножителей так чтобы их сумма была наименьшей

56 Найти треугольник данного периметра p который при вращении около одной из своих сторон образует тело наибольшего объема Определить наружные размеры открытого прямоугольного ящика с заданной толщиной стенок d и емкостью V так чтобы на его изготовление было затрачено наименьшее количество материала Из всех треугольников с одинаковым основанием и одним и тем же углом при вершине найти наибольший по площади В шар радиуса R вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего объема В данный прямой круговой конус вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего объема При каких размерах открытого прямоугольного ящика с заданным объемом V его поверхность будет наименьшей? 7 Требуется вырезать из круга сектор таким образом чтобы из него можно было сделать конусообразный фильтр с максимальным объемом 8 Задан объем открытой цилиндрической емкости Каковы должны быть ее размеры чтобы длина сварных швов была минимальной? (Заготовки: лист в форме круга основание прямоугольный лист боковая поверхность СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Высшая математика Методические указания и контрольные задания (с программой / Под ред ЮС Арутюнова М: Высшая школа 98 Данко ПЕ Попов АГ Кожевникова ТЯ Высшая математика в упражнениях и задачах Ч М Высшая школа 98 Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных: Методические указания к выполнению контрольной работы / Сост: НЯ Горячева ЮА Решетников Ульяновск 999 с Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных: типовой расчет по высшей математике / Сост: АВ Анкилов НЯ Горячева ТБ Распутько Ульяновск: УлГТУ с Пискунов НС Дифференциальное и интегральное исчисления Т М: Интеграл-Пресс с Письменный ДТ Конспект лекций по высшей математике: в ч Ч М: Айрис-пресс 88 с 7 Сборник задач по математике Ч: Учеб пособие для втузов / под общ ред А В Ефимова А С Поспелова - М: ФИЗМАТЛИТ - с 8 Фихтенгольц ГМ Курс дифференциального и интегрального исчисления Т М: ФИЗМАТЛИТ 8 с

57 Учебное электронное издание ВЕЛЬМИСОВ Петр Александрович ПОКЛАДОВА Юлия Валерьевна ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Учебное пособие Усл печ л Объем данных Мб ЭИ Печатное издание ЛР от 97 Подписано в печать Формат 8/ Усл печ л Тираж экз Заказ Типография УлГТУ 7 г Ульяновск ул Сев Венец д Ульяновский государственный технический университет 7 г Ульяновск ул Сев Венец Тел: (E-ml:

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Министерство образования и науки Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ СОСТАВИТЕЛИ:

Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ РАЗДЕЛА

Функции нескольких переменных Во многих вопросах геометрии естествознания и пр дисциплин приходится иметь дело с функциями двух трех и более переменных Примеры: Площадь треугольника S a h где a основание

Дифференцирование неявно заданной функции Рассмотрим функцию (,) = C (C = const) Это уравнение задает неявную функцию () Предположим, мы решили это уравнение и нашли явное выражение = () Теперь можно

Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f (1, n) переменной от переменных 1, n называется функцией n аргументов 1, n В дальнейшем будем рассматривать

Практическое занятие ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Дифференцирование сложной функции Дифференцирование неявной функции задаваемой одним уравнением Системы неявных и параметрически заданных

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» ОГ Павловская ЕС Плюснина МАТЕМАТИКА Часть Функции нескольких переменных Методические указания

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Функции нескольких переменных Величина называется функцией переменных величин n если каждой точке М n принадлежащей некоторому множеству X поставлено

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Курганский государственный университет» Кафедра «Прикладная математика

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Министерство образования и науки Российской Федерации Московский государственный университет геодезии и картографии ОВ Исакова, ЛА Сайкова Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Рекомендовано

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Э Е Поповский П П Скачков ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Типовой расчет Екатеринбург 1 Федеральное

Введение Методические указания посвящены вопросам изучения и практического применения теории функции двух переменных Каждый параграф соответствует одному практическому занятию по данной теме Цель указаний

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» МА Бодунов, СИ Бородина, ВВ Показеев, БЭ Теуш ОИ Ткаченко, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен: уметь применять таблицу производных и правила дифференцирования для вычисления производных элементарных функций находить производные

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные П л а н 1. Понятие функции двух и нескольких переменных.. Предел и непрерывность

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новгородский государственный университет имени

5 Точка в которой F F F или хотя бы одна из этих производных не существует называется особой точкой поверхности В такой точке поверхность может не иметь касательной плоскости Определение Нормалью к поверхности

Лекции 9 Локальные экстремумы функции многих переменных Определение Пусть функция многих переменных f f (задана на (некотором множестве D и (некоторая точка этого множества Точка называется точкой локального

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Практическое занятие 5 Экстремум функции многих переменных 5 Определение и необходимые условия экстремума 5 Некоторые сведения о квадратичных формах 53 Достаточные условия экстремума 5 Определение и необходимые

I типового варианта «Интегральное исчисление функций одной переменной» Задание Вычислите неопределенный интеграл I cos d 9 Представим данный интеграл I в виде суммы интегралов: d I cos d d d 9 Используя

Практикум: «Формула Тейлора» Если функция f () имеет производные до (п +)-го порядка включительно в интервале (0, 0), 0, то для всех х из этого интервала справедлива формула Тейлора (порядка п) () f

Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Поверхности второго порядка. Определение функции х переменных. Геометрическая интерпретация. Частные приращения функции. Частные производные.

Лекция 8 Дифференцирование сложной функции Рассмотрим сложную функцию t t t f где ϕ t t t t t t t f t t t t t t t t t Теорема Пусть функции дифференцируемы в некоторой точке N t t t а функция f дифференцируема

Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений Веб- страница кафедры http://kvm.gubkin.ru 1 Функции многих переменных 2 Определение

I Определение функции нескольких переменных Область определения При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более независимых переменных Например температура тела в данный момент

Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Экстремум функции нескольких переменных. Нахождение максимального и минимального значения функции в замкнутой области Условный экстремум Комплексные

Глава Экстремумы функции двух переменных Экстремум функции двух переменных При решении многих экономических задач приходится вычислять наибольшее и наименьшее значения В качестве примера рассмотрим задачу

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Методические рекомендации

Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий практические

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

ЛЕКЦИЯ Экстремум функции нескольких переменных Экстремум функции нескольких переменных Необходимые и достаточные условия существования экстремума Точка M, 0) называется точкой минимума максимума) функции

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Белорусский государственный педагогический университет имени Максима Танка» ПРАКТИКУМ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, АЛГЕБРЕ И ГЕОМЕТРИИ

~ 1 ~ ФУНКЦИЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 3 Функция двух переменных, область определения, способы задания и геометрический смысл. Определение: z f, называется функцией двух переменных, если каждой паре значений,

Пензенский государственный университет ОГНикитина ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебное пособие Пенза УДК 5755 Никитина ОГ Функции нескольких переменных Дифференциальное исчисление:

Федеральное агентство по сельскому хозяйству Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Мичуринский государственный аграрный университет Кафедра математики

II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

ЛЕКЦИЯ N. Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремумы функции многих переменных. Условный экстремум.. Скалярное поле. Производная по

Лекции Глава Функции нескольких переменных Основные понятия Некоторые функции многих переменных хорошо знакомы Приведем несколько примеров Для вычисления площади треугольника известна формула Герона S

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн. Если величина однозначно определяется заданием значений величин и, независимых друг от друга,

П0 Производная Рассмотрим некоторую функцию f (), зависящую от аргумента Пусть эта функция определена в точке 0 и некоторой ее окрестности, непрерывна в этой точке и ее окрестностях Рассмотрим небольшое

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Функции многих переменных Конспект лекций и практикум для

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Теория поверхностей в дифференциальной геометрии Элементарная поверхность Определение Область на плоскости называется элементарной областью, если она является образом открытого круга при гомеоморфизме,

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 1. Понятие условного экстремума.. Методы отыскания условного экстремума.. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. 1. Понятие условного

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ Ю.Г. Костына, Г.П. Мартынов ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных,

Введение Домашние контрольные работы (ДКР) по математическому анализу являются одной из основных форм текущего контроля самостоятельной работы студентов. Примерное время, необходимое для выполнения ДКР,

Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов: изучение материала по учебникам, решение задач, самопроверка

1. Построить область определения следующих функций. a) Так как функции определена при то область определения функции является множество - полуплоскость. b) Так как область определения функции является

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных, из некоторого множества D ставится в соответствие переменная величина, то называется функцией двух

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Высшая математика 1» Г. И. Лебедева Г. А. Романюк И. М. Мартыненко ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Методическое

Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

Основные определение и понятия.

1. Образ функции двух переменных, область определения и изменения функции.

2. Частные производные, их геометрический смысл.

3. Производные высших порядков.

4. Дифференциал функции двух переменных, приближенные вычисления с помощью дифференциала .

5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Переменная zhttps://pandia.ru/text/80/329/images/image001_141.gif" width="13" height="13">G по закону (правилу) f : (x , y ) → z (z = f (x , y ) ) устанавливается взаимно-однозначное соответствие.

Множество G называется областью определения функции z = f (x , y ) и обозначается

Множество Z называется областью изменения функции z = f (x , y ) и обозначается Е(z ).

Функция двух переменных может обозначаться:

а) в явном виде z = f (x , y ); z = φ (x , y ); z = z (x , y );

b ) в неявном виде F (x , y , z (x , y ))=0.

Если (х0,у0) https://pandia.ru/text/80/329/images/image003_67.gif" width="76 height=24" height="24">; Е(z ) ≥ 0.

Графиком функции дух переменных является поверхность в пространстве .

https://pandia.ru/text/80/329/images/image006_41.gif" width="83" height="29">; изобразить на плоскости хоу

множество точек области определения этих функций.

1) Закон (правило) соответствия функции и пар независимых переменных z = f (x , y ) – логарифмический, поэтому (х – у)>0, то есть х > у. Область определения – множество точек плоскости хоу , лежащих под прямой у = х , не включая точек, принадлежащих прямой, поэтому ее изображают пунктиром.

Область изменения по закону функциональной зависимости z .

2) Закон (правило) соответствия z = f (x , y ) ,

поэтому (у – х2) ≥ 0, то есть у ≥ х2. Область определения –

множество точек плоскости хоу , лежащих внутри

параболы у ≥ х2 , включая точки, принадлежащих

параболе (границе области). Область изменения по

закону функциональной зависимости z ≥ 0.

Определение частных производных функции двух переменных и их геометрический смысл.

Частными производными функции z = f (x, у) называются пределы отношения приращений функции z = z (х, у) к приращению соответствующего аргумента по направлениям ох или оу при Δ х → 0 и Δ у → 0 соответственно:

Частная производная по х:

при вычислении считают x = const.

Геометрически

https://pandia.ru/text/80/329/images/image014_30.gif" width="108" height="24"> , где α – угол касательной к поверхности в точке с направлением оси ох;

Где β – угол касательной к поверхности в точке с направлением оси оу.

Правила дифференцирования и табличные производные функции одной переменной полностью справедливы для функции двух и нескольких переменных.

Для функции двух переменных z = f (x, y) существуют две

частные производные первого порядка : https://pandia.ru/text/80/329/images/image017_23.gif" width="89" height="44 src=">, которые так же являются функциями двух переменным и их можно дифференцировать по переменным х и у. Найдем четыре частные производные второго порядка :

Отметим, что смешанные производные высших порядков равны (теорема Шварца): , то есть различных производных

второго порядка – три: , .

Третьих производных для функции двух переменных (z = f (x, y)) – восемь: , но из них различных – четыре, так как смешанные производные при дифференцировании в любом порядке равны:

Найдем первые производные:

https://pandia.ru/text/80/329/images/image037_12.gif" width="139" height="27">Найдем вторые смешанные производные:

видим, что, то есть проверили теорему Шварца и показали, что.

Дифференциал и его геометрический смысл. Приближенные вычисления с помощью дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Полным дифференциалом функции z = f (x, у) называется линейная часть приращения функции (до касательной плоскости к поверхности в точке (х0;у0) ):

Данную формулу используют для приближенных вычислений функции в точке.

Например , нужно вычислить значение функции в, где

= 1.02 = 1 + 0.02 , а у0 = 2.97 = 3 - 0.03 : примем за х = 1 , а за у = 3 ;

за Δ х и Δ у следует выбрать Δ х =0.02 и Δ у = – 0.03 , чтобы погрешность вычисления была наименьшей (не следует в данном примере за Δ у выбирать значение Δ у = 0.97 , а за у = 2, представив точку у0 = 2.97 =2 + 0,97).

Пример 2. Вычислить значение https://pandia.ru/text/80/329/images/image049_4.gif" width="79" height="33"> и заметим, что вычислить ее необходимо в точке х0 = 0,98; у0 = 1,05.

Воспользуемся возможностью провести вычисления с помощью дифференциала. Представим точку х0 = 0,98 = 1 – 0,02; у0 = 1,05 = 1 + 0,05 и обозначим х = 1; у = 1; Δх = - 0,02; Δу = 0,05.

Вычислим частные производные функции = ; . Тогда .

При и вычислим

https://pandia.ru/text/80/329/images/image057_3.gif" width="376" height="41 src=">.

Вычислив это значение на калькуляторе, получим https://pandia.ru/text/80/329/images/image058_4.gif" width="192 height=48" height="48">0,0003.

Из определения дифференциала можно еще выделить его геометрический смысл.

Если А(х, у)https://pandia.ru/text/80/329/images/image001_141.gif" width="13" height="13">плоскости Z (x , y ) = z (A ) + a (x - xA ) + b (y - yA ), а поверхность графика функции сливается с плоскостью в окрестности точки А(х, у) , то такая плоскость называется касательной плоскостью к поверхности в этой точке.
Или уравнение касательной плоскости а(х-хА)+ b (у-уА)+(-1)(z - zA )=0 и нормальный вектор к ней , который считают нормальным вектором к поверхности в точке А(х, у).

Введение в математический анализ

1. Множества, способы их задания. Кванторы. Операции над множествами (объединение, пересечение, разность), их свойства. Модуль числа, его свойства. Декартово произведение множеств. Грани множеств. Счетные и несчетные множества.

2.. Функции, способы их задания, классификация.

3. Окрестность точки. Предел последовательности. Теоремы Больцано-Коши и Вейерштрасса (без доказательства). Определение предела функции по Гейне.

4. Односторонние пределы. Необходимые и достаточные условия существования предела. Геометрический смысл предела.

5. Определение предела функции непрерывного аргумента по Коши при и .

6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, взаимосвязь между ними. Свойства бесконечно малых функций.

7. Теоремы о представлении функции в виде суммы предела и бесконечно малой функции.

Теоремы о пределах (свойства пределов).

8. Теорема о промежуточной функции. Первый замечательный предел.

9. Второй замечательный предел, его обоснование, применение в финансовых вычислениях.

10. Сравнение бесконечно малых функций.

11. Непрерывность функции в точке и на отрезке. Действия над непрерывными функциями. Непрерывность основных элементарных функций.

12. Свойства непрерывных функций.

13. Точки разрыва функций.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

14. Производная функции, ее геометрический и механический смысл.

15. Взаимосвязь непрерывности и дифференцируемости функции. Непосредственное нахождение производной.

16. Правила дифференцирования функций.

17. Вывод формул дифференцирования тригонометрических и обратных тригонометрических функций.

18. Вывод формул дифференцирования логарифмической и показательной функций.

19. Вывод формул дифференцирования степенной и показательно-степенной функций. Таблица производных. Производные высших порядков.

20. Эластичность функции, её геометрический и экономический смысл, свойства. Примеры.

21. Дифференциал функции одной переменной. Определение, условия существования, геометрический смысл, свойства.

22. Применение дифференциала функции одной переменной для приближенных вычислений. Дифференциалы высших порядков.

23. Теорема Ролля, её геометрический смысл, примеры её использования.

24. Теорема Лагранжа о конечном приращении функции, её геометрический смысл.

25. Теорема Коши о дифференцируемых функциях.

26. Правило Лопиталя, его использование для раскрытия неопределенностей при нахождении пределов.

27. Формула Тейлора. Остаточный член в форме Лагранжа и Пеано.

28. Формула Маклорена, её остаточный член. Разложение элементарных функций.

29. Формула Маклорена, её применение для нахождения пределов и вычисления значений функций.

30. Монотонные функции. Необходимый и достаточный признаки монотонности функции.

31. Локальный экстремум функции. Необходимый признак экстремума функции.

32. Первый и второй достаточные признаки экстремума функции.

33. Достаточный признак выпуклости, вогнутости графика функции.

34. Необходимый и достаточный признаки существования точки перегиба.

35. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построения графика.

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

36. Функция нескольких переменных, ее определение, линии уровня и поверхности уровня.

37. Определение предела функции нескольких переменных по Коши. Свойства пределов.

38. Бесконечно малые функции. Определения непрерывности функции нескольких переменных. Точки и линии разрыва. Свойства непрерывных функций.

39. Частные приращения и частные производные функции нескольких переменных. Правило нахождения частных производных. Геометрический смысл частных производных.

40. Необходимые условия дифференцируемости функции нескольких переменных. Примеры взаимосвязи дифференцируемых и непрерывных функций.

41. Достаточные условия дифференцируемости функции нескольких переменных.

42. Полный дифференциал функции нескольких переменных, его определение.

43. Применение полного дифференциала функций нескольких переменных для приближенных вычислений.

44. Частные производные и дифференциалы высших порядков.

45. Частные производные сложной функции нескольких переменных.

46. Частные производные функции нескольких переменных, заданной неявно.

47. Производная функции нескольких переменных по направлению.

48. Градиент функции нескольких переменных, его свойства.

49. Формула Тейлора для функции нескольких переменных.

50. Необходимый и достаточный признаки локального экстремума функции двух переменных.

51. Условный экстремум функции нескольких переменных. Метод множителей Лагранжа.

52. Достаточный признак условного экстремума. Абсолютный экстремум функции нескольких переменных.

53. Метод наименьших квадратов.

Вопросы к экзамену по математике. II семестр.

При ответе на вопрос требуется дать определение всем используемым терминам.

Алгебра.

1. Группы, кольца, поля. Изоморфизм групп.

2. Определение линейного пространства. Теорема о линейно зависимых и независимых системах векторов.

3. Теорема о линейной зависимости системы из k векторов, каждый из которых является линейной комбинацией некоторой системы из m векторов (k>m).

4. Базис линейного пространства. Теорема об инвариантности числа элементов базиса. Теорема о количестве элементов линейно независимой системы (Т. 1.3, Т.1.4).

5. Координаты вектора. Теоремы о координатах вектора (Т.1.5 и Т.1.7).

6. Определение и свойства скалярного произведения. Угол между векторами.

7. Пространства и .

8. Подпространство линейного пространства. Линейная оболочка системы векторов.

9. Матрицы: определение; сложение и умножение на число. Размерность и базис пространства матриц одного размера.

10. Перемножение матриц. Свойства.

11. Обратные и транспонированные матрицы.

12. Перемножение матриц, разбитых на блоки.

13. Ортогональные матрицы.

14. Определитель матрицы: определение, разложение по первому столбцу. Определитель верхней и нижней треугольных матриц. Связь определителей и .

15. Перестановки.

16. Теорема о выражении определителя через сумму слагаемых, в каждом из которых содержится произведение элементов матрицы (по одному из каждой строки и каждого столбца), снабженных знаком по некоторому правилу.

17. Свойства определителей: перестановка строк (столбцов), разложение по произвольному столбцу (строке), сумма произведений элементов i-ой строки на алгебраические дополнения соответствующих элементов j-ой строки.

18. Линейность определителя по элементам строки или столбца. Определитель матрицы, строки (столбцы) которой являются линейно зависимыми. Определитель матрицы, к некоторой строке которой прибавлена другая, умноженная на число.

19. Определитель блочной матрицы. Определитель произведения матриц.

20. Обратная матрица. Следствия о треугольных матрицах.

21. Матрицы элементарных преобразований.

22. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений в случае, когда системы несовместны или имеют единственное решение.

23. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений в случае, когда системы имеют бесконечно много решений. Структура общего решения систем.

24. Однородные системы линейных уравнений.

25. Теорема Крамера.

26. Горизонтальный и вертикальный ранги матрицы. Ранг по минорам. Их совпадение для трапециевидной матрицы.

27. Неизменность ранга матрицы при умножении ее на невырожденную. Теорема о равенстве рангов для произвольной матрицы.

28. Теорема Кронекера-Капелли.

29. Собственные числа и векторы матрицы. Совпадение характеристических многочленов у подобных матриц. Линейная независимость собственных векторов, соответствующих различным собственным числам.

30. Связь между линейной зависимостью системы векторов и соответствующей системы координатных столбцов. Связь координатных столбцов одного вектора в разных базисах.

31. Линейное отображение линейных пространств. Матрица отображения в некоторых базисах. Ее использование для вычисления образа вектора. Связь матриц отображения в разных базисах.

32. Ядро и образ отображения. Ранг отображения, его связь с рангом матрицы отображения.

33. Собственные числа и собственные векторы оператора. Матрица оператора в базисе из собственных векторов.

34. Линейная независимость собственных векторов, соответствующих различным собственным числам оператора. Собственные подпространства, их размерность. Следствия.

35. Евклидовы и унитарные пространства. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта.

36. Теорема о собственных числах и собственных векторах вещественной симметричной матрицы.

37. Теорема об ортогональном подобии вещественной симметричной матрицы некоторой диагональной матрице. Следствия.

38. Определение билинейной и квадратичной форм. Матрица билинейной формы в некотором базисе, ее использование для вычисления билинейной формы. Связь матриц одной билинейной формы в разных базисах.

39. Теорема о существовании ортогонального преобразования базиса, приводящего квадратичную форму к каноническому виду. Практический метод приведения квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования базиса (метод собственных векторов). Построение кривой

40. Теорема о необходимом и достаточном условии положительной (отрицательной) определенности квадратичной формы.

41. Теорема о существовании треугольного преобразования базиса, приводящего квадратичную форму к каноническому виду. Критерий Сильвестра.

Математический анализ.

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.

42. Последовательность точек в .Теорема о покоординатной сходимости.

43. Предел функции р переменных. Непрерывность функции р переменных. Теорема Вейерштрасса.

44. Дифференцируемость функции р переменных. Дифференцируемость суммы и произведения дифференцируемых функций.

45. Частные производные функции р переменных. Связь между дифференцируемостью функции и существованием частных производных. Пример функции, которая имеет частные производные в точке А, но не дифференцируема в этой точке.

46. Дифференцируемость функции в случае существования и непрерывности частных производных.

47. Производная сложной функции. Частные производные сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.

48. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных.

49. Дифференциалы высших порядков. Отсутствие инвариантности формы у дифференциалов порядка выше первого.

50. Формула Тейлора функции р переменных.

51. Теорема о существовании и дифференцируемости неявно заданной функции одной переменной. Вычисление первой и второй производных функции у(х) , заданной неявно уравнением

52. Теорема о существовании и дифференцируемости неявно заданных функций р переменных, заданных системой функциональных уравнений. Приемы вычисления производных. Вычисление первых и вторых производных функции z(x,y) , заданной неявно уравнением

.

Вычисление первых производных функций y(x), z(x) , u(x), заданных неявно системой

.

53. Определение точек экстремума функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существования точек экстремума.

54. Определение точек условного экстремума функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существования точек условного экстремума. Пример: найти точки условного экстремума функции при условии .

При ответе на оценку 3 требуется знать все определения и формулировки из вопросов 1 – 54, а также доказательства теорем из вопросов 25, 29, 33, 40, 46, 49. Использовать конспекты (и шпаргалки) нельзя.