Разделы сайта
Выбор редакции:
- Наркомания как общественное явление Наркомания как общественное явление
- Решение головоломки с пирамидой в Ордене Истины в Torment: Tides of Numenera Багровый рассвет приветствует искателя лиловый закат знаменует
- Демоверсия устной части огэ по русскому языку
- Княгиня ольга — духовная мать русского народа
- Сатанинский алтарь Ленина
- Почему щелочной гидролиз сложных эфиров процесс необратимый
- Путешествие в древний Новгород
- Валентные возможности атомов
- Хмурый жлоб порошенко приехал в европу в дырявых носках
- Образец психологического тестирования для поступления на специальность «Правоохранительная деятельность Психологический тест в колледж мчс
Реклама
Конспект урока алгебры и начала анализав 10 классе по теме: «Преобразование графиков тригонометрических функций» Цель урока: систематизировать знания по теме «Свойства и графики тригонометрических функций у=sin (x ), у=cos (x )». Задачи урока:
Оборудование урока:икт Тип урока: изучение нового Ход урока Перед уроком 2 ученика на доске строят графики из домашнего задания. Организационный момент: Здравствуйте, ребята! Сегодня на уроке мы будем преобразовывать графики тригонометрических функций у=sin (x ), у=cos (x ). Устная работа: Проверка домашнего задания. разгадывание ребусов. Изучение нового материала Все преобразования графиков функций являются универсальными - они пригодны для всех функций, в том числе и тригонометрических. Здесь же ограничимся кратким напоминанием основных преобразований графиков. Преобразование графиков функций. Дана функция у = f (x ). Все графики начинаем строить с графика этой функции, затем производим с ним действия. Функция Что делать с графиком y = f(x) + a Все точки первого графика поднимаем на а единиц вверх. y = f(x) – a Все точки первого графика опускаем на а единиц вниз. y = f(x + a) Все точки первого графика сдвигаем на а единиц влево. y = f (x – a) Все точки первого графика сдвигаем на а единиц вправо. y = a*f (x),a>1 Закрепляем нули на месте, верхние точки сдвигаем выше в а раз, нижние – опускаем ниже в а раз. График «вытянется» вверх и вниз, нули остаются на месте. y = a*f(x), a<1 Закрепляем нули, верхние точки опустятся вниз в а раз, нижние – поднимутся в а раз. График «сожмётся» к оси абсцисс. y = -f (x ) Зеркально отобразить первый график относительно оси абсцисс. y = f (ax ), a <1 Закрепить точку на оси ординат. Каждый отрезок на оси абсцисс увеличить в а раз. График растянется от оси ординат в разные стороны. y = f (ax ), a >1 Закрепить точку на оси ординат, каждый отрезок на оси абсцисс уменьшить в а раз. График «сожмётся» к оси ординат с обеих сторон. у = | f(x)| Части графика, расположенные под осью абсцисс зеркально отобразить. Весь график будет расположен в верхней полуплоскости. Схемы решения. 1)y = sin x + 2. Строим график у = sin x . Каждую точку графика поднимаем вверх на 2 единицы (нули тоже). 2)y = cos x – 3. Строим график y = cos x . Каждую точку графика опускаем вниз на 3 единицы. 3)y = cos (x - /2) Строим график y = cos x . Все точки сдвигаем на п/2 вправо. 4)у = 2 sin x . Строим график у = sin x . Нули оставляем на месте, верхние точки поднимаем в 2 раза, нижние опускаем на столько же. ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА Построение графиков тригонометрических функций с помощью программы Advanced Grapher. Построим график функции у = -cos 3x + 2.
y = 0,5 sin x. y = 0,2cos x-2 у = 5cos 0,5 x y= -3sin(x+π). 2) Найди ошибку и исправь её. V. Исторический материал. Сообщение об Эйлере. Леонард Эйлер – крупнейший математик 18-го столетия. Родился в Швейцарии. Долгие годы жил и работал в России, член Петербургской академии. Почему же мы должны знать и помнить имя этого ученого? К началу 18 века тригонометрия была еще недостаточно разработана: не было условных обозначений, формулы записывались словами, усваивать их было трудно, неясным был и вопрос о знаках тригонометрических функций в разных четвертях круга, под аргументом тригонометрической функции понимали только углы или дуги. Только в трудах Эйлера тригонометрия получила современный вид. Именно он стал рассматривать тригонометрическую функцию числа, т.е. под аргументом стали понимать не только дуги или градусы, но и числа. Эйлер вывел все тригонометрические формулы из нескольких основных, упорядочил вопрос о знаках тригонометрической функции в разных четвертях круга. Для обозначения тригонометрических функций он ввел символику: sin x, cos x, tg x, ctg x. На пороге 18-го века в развитии тригонометрии появилось новое направление – аналитическое. Если до этого главной целью тригонометрии считалось решение треугольников, то Эйлер рассматривал тригонометрию как науку о тригонометрических функциях. Первая часть: учение о функции – часть общего учения о функциях, которое изучается в математическом анализе. Вторая часть: решение треугольников – глава геометрии. Такие вот нововведения были сделаны Эйлером. VI. Повторение Самостоятельная работа “Допиши формулу”. VII. Итоги урока: 1) Что нового вы узнали сегодня на уроке? 2) Что еще вы хотите узнать? 3) Выставление оценок. Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com Подписи к слайдам:Графики тригонометрических функций Функция у = sin x, ее свойства Преобразование графиков тригонометрических функций путем параллельного переноса Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и расширения Для любознательных… тригонометрические функции Графиком функции у = sin x является синусоида Свойства функции: D(y) =R Периодическая (Т=2 ) Нечетная (sin(-x)=-sin x) Нули функции: у=0, sin x=0 при х = n, n Z y=sin x тригонометрические функции Свойства функции у = sin x 5. Промежутки знакопостоянства: У >0 при х (0+2 n ; +2 n) , n Z У тригонометрические функции Свойства функции у= sin x 6. Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутках вида: - /2 +2 n ; / 2+2 n n Z y = sin x тригонометрические функции Свойства функции у= sin x Промежутки монотонности: функция убывает на промежутках вида: /2 +2 n ; 3 / 2+2 n n Z y=sin x тригонометрические функции Свойства функции у = sin x 7. Точки экстремума: Х мах = / 2 +2 n , n Z Х м in = - / 2 +2 n , n Z y=sin x тригонометрические функции Свойства функции у = sin x 8 . Область значений: Е(у) = -1;1 y = sin x тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций График функции у = f (x +в) получается из графика функции у = f(x) параллельным переносом на (-в) единиц вдоль оси абсцисс График функции у = f (x)+а получается из графика функции у = f(x) параллельным переносом на (а) единиц вдоль оси ординат тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций Постройте график Функции у = sin(x+ /4) вспомнить правила тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций y =sin (x+ /4) Постройте график функции: y=sin (x - /6) тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций y = sin x + Постройте график функции: y =sin (x - /6) тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций y= sin x + Постройте график функции: y=sin (x + /2) вспомнить правила тригонометрические функции Графиком функции у = cos x является косинусоида Перечислите свойства функции у = cos x sin(x+ /2)=cos x тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения График функции у = k f (x) получается из графика функции у = f(x) путем его растяжения в k раз (при k>1) вдоль оси ординат График функции у = k f (x) получается из графика функции у = f(x) путем его сжатия в k раз (при 0 тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения y=sin2x y=sin4x Y=sin0.5x вспомнить правила тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения График функции у = f (kx) получается из графика функции у = f(x) путем его сжатия в k раз (при k>1) вдоль оси абсцисс График функции у = f (kx) получается из графика функции у = f(x) путем его растяжения в k раз (при 0 тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения y = cos2x y = cos 0.5x вспомнить правила тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения Графики функций у = -f (kx) и у=- k f(x) получаются из графиков функций у = f(kx) и y= k f(x) соответственно путем их зеркального отображения относительно оси абсцисс синус – функция нечетная, поэтому sin(-kx) = - sin (kx) косинус –функция четная, значит cos(-kx) = cos(kx) тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения y = - sin3x y = sin3x вспомнить правила тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения y=2cosx y=-2cosx вспомнить правила тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения График функции у = f (kx+b) получается из графика функции у = f(x) путем его параллельного переноса на (-в /k) единиц вдоль оси абсцисс и путем сжатия в k раз (при k>1) или растяжения в k раз (при 0 тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения Y= cos(2x+ /3) y=cos(x+ /6) y= cos(2x+ /3) y= cos(2(x+ /6)) y= cos(2x+ /3) y= cos(2(x+ /6)) Y= cos(2x+ /3) y=cos2x вспомнить правила тригонометрические функции Для любознательных… Посмотрите как выглядят графики некоторых других триг. функций: y = 1 / cos x или y=sec x (читается секонс) y = cosec x или y= 1/ sin x читается косеконс По теме: методические разработки, презентации и конспектыЦОР «Преобразование графиков тригонометрических функций» 10-11 классы Раздел учебной программы:«Тригонометрические функции».Тип урока:цифровой образовательный ресурс комбинированного урока алгебры. По форме изложения материала:Комбинированный (универсальный) ЦОР со... Методическая разработка урока по математике:«Преобразование графиков тригонометрических функций» Методическая разработка урока по математике: «Преобразование графиков тригонометрических функций» для учащихся десятого класса. Урок сопровождается презентацией.... Конспект урока по алгебре в 10 классе Васильева Екатерина Сергеевна , учитель математики ОГБОУ «Смоленская специальная (коррекционная) общеобразовательная школа I и II видов» Смоленск Тема урока: «Преобразование графиков тригонометрических функций». Название модуля : преобразование графиков тригонометрических функций.Интегрирующая дидактическая цель : отработать навыки построения графиков тригонометрических функций.Целевой план действий для учащихся:
Банк информации. Входной контроль. Назовите свойства функций y = sin x (рис. 1).Рис . 1 Свойства:
sin (x+2πn)= sin x, n Є Z, x Є R. sin x=0 при x=πk, kЄ Z sin x>0, x Є (2πk;2π+2πk), k Є Z sin x Наибольшее значение, равное 1, y=sin x принимает в точках x=π/2+ 2πk, k Є Z. Наименьшее значение, равное -1, y=sin x принимает в точках x=3π/2+ 2πk, k Є Z. Рис . 2 Свойства:
cos (x+2πn)=cos x, n Є Z, x Є R cos x=0 при x=π/2+πk, kЄZ cos x>0, x Є (-π/2+2πk; π/2+2πk), k Є Z cos x Наибольшее значение, равное 1, y=cos x принимает в точках x= 2πk, k Є Z. Наименьшее значение, равное -1, y=cos x принимает в точках x=π+ 2πk, k Є Z. Риc . 3 Свойства:
tg(x+π)= tg x tgx= 0 при x=πk, k Є Z tg x> 0, x Є (πk; π/2+πk), k Є Z tg x Рис . 4 Свойства:
ctg(x+π)=tg x ctg x = 0 при x=π/2+πk, k Є Z ctg x>0, x Є(πk; π/2+πk), k Є Z ctg x Объяснение материала.
Для построения графика функции y = f (kx ) надо растянуть график y = f (x ) вдоль оси абсцисс. Если | k |>1 , то происходит сжатие графика вдоль оси OХ , если 0 Закрепление материала. Уровень А Частная дидактическая цель : отработать навык построения тригонометрических функций путем преобразований. Методический комментарий для учащихся : Ox в 3 раза. График функции получается из графика путем растяжения вдоль оси Oy в 2 раза. График функции получается из графика путем параллельного переноса на 2 единицы вверх вдоль оси Oy . График функции получается из графика путем параллельного переноса вдоль оси абсцисс на единиц влево . Г Уровень В. Частная дидактическая цель : тригонометрических функций путем последовательного применения преобразований . Методический комментарий для учащихся : постройте графики функций, выполнив преобразования. График функции получается из графика путем параллельного переноса вдоль оси абсцисс на единиц вправо . График функции получается из графика функции путем последовательного выполнения следующих преобразований: 1) параллельный перенос на единицы влево вдоль оси абсцисс 2) сжатие вдоль оси Оy в 4 раза. График функции получается из графика функции , каждая ордината которого изменяется в -2 раза. Для этого выполняем следующие преобразования: 1) отображаем симметрично относительно оси Ox , 2) растягиваем в 2 раза вдоль оси Oy . последовательного выполнения следующих преобразований : 1) сжатиевдоль оси абсцисс в 2 раза ; 2) растяжение в 3 раза вдоль оси Oy ; 3) параллельный перенос на 1 единицу вверх вдоль оси ординат . Уровень С . Частная дидактическая цель : отработать навык построения графиков тригонометрических функций путем последовательного применения преобразований . Методический комментарий для учащихся : укажите , какие преобразования нужно выполнить для построения графиков . Постройте графики . 1. График функции получается из графика функциипутем последовательного выполнения следующих преобразований: 1) отображение симметрично относительно оси Ox , 2) сжатие в 2 раза вдоль оси Oy; 3) параллельный перенос на 2 единицы вниз вдоль оси Оy. 2. График функции получается из графика функции последовательного выполнения следующих преобразований : получается www . aiportal . ru / services / graph . html Построение графиков тригонометрических функций в 11классе Учитель математики первой квалификационной категории МАОУ «Гимназия №37» г.Казань Спиридонова Л.В.
Тригонометрические функции числового аргумента. y=sin(x) y=cos(x) Построение графика функции y = sin x . Построение графика функции y = sin x . Построение графика функции y = sin x . Построение графика функции y = sin x . Свойства функции у = sin ( x ) .
всех действительных чисел ( R ) 2. Областью изменений (Областью значений) ,E(y)= [ - 1; 1 ] . 3. Функция у = sin ( x) нечетная, т.к. sin (- x ) = - sin x
sin (x + 2 π ) = sin(x). 5. Функция непрерывная Убывает: [ π /2; 3 π /2 ] . 6. Возрастает: [ - π /2; π /2 ] . + + + - - - Построение графика функции y = cos x . График функции у = cos x получается переносом графика функции у = sin x влево на π /2. Свойства функции у = со s ( x ) . 1. Областью определения функции является множество всех действительных чисел ( R ) 2. Областью изменений (Областью значений),Е(у)= [ - 1; 1 ] . 3. Функция у = cos (х) четная, т.к. cos (- х ) = cos (х)
cos ( х + 2 π ) = cos (х) . 5. Функция непрерывная Убывает: [ 0 ; π ] . 6. Возрастает: [ π ; 2 π ] . + + + + - - - Построение графиков функций вида у = sin ( x ) + m и у = cos (х) + m. 0 , или вниз, если m ." width="640" Параллельный перенос графика вдоль оси Оу График функции y=f(x) + m получается параллельным переносом графика функции y=f(x) , вверх на m единиц, если m 0 , или вниз, если m . 0 y m 1 x" width="640" Преобразование: y= sin ( x ) +m Сдвиг у= sin ( x ) по оси y вверх, если m 0 m 0 y m 1 x" width="640" Преобразование: y= cos ( x ) +m Сдвиг у= cos ( x ) по оси y вверх , если m 0 m Преобразование: y=sin ( x ) +m Сдвиг у= sin ( x ) по оси y вниз, если m 0 m Преобразование: y= cos ( x ) + m Сдвиг у= cos ( x ) по оси y вниз, если m 0 m Построение графиков функций вида у = sin ( x + t ) и у = cos ( х + t ) 0 и вправо, если t 0." width="640" Параллельный перенос графика вдоль оси Ох График функции y = f(x + t) получается параллельным переносом графика функции y=f(x) по оси х на |t| единиц масштаба влево, если t 0 и вправо , если t 0. 0 y 1 x t" width="640" Преобразование: y = sin(x + t) сдвиг у= f(x) по оси х влево, если t 0 t 0 y 1 x t" width="640" Преобразование: y= cos(x + t) сдвиг у= f(x) по оси х влево, если t 0 t Преобразование: y= sin(x + t) сдвиг у= f(x) по оси х вправо, если t 0 t Преобразование: y= cos(x + t) сдвиг у= f(x) по оси х вправо, если t 0 t 0 1 и 0 а 1" width="640" Построение графиков функций вида у = А · sin ( x ) и y = А · cos ( x ) , при а 1 и 0 а 1 1 и сжатием к оси Ох с коэффициентом 0 А." width="640" Сжатие и растяжение вдоль оси Ох График функции у=А · f(x ) получаем растяжением графика функции у= f(x) с коэффициентом А вдоль оси Ох,если А 1 и сжатием к оси Ох с коэффициентом 0 А . 1 пусть а=1,5 y 1 x -1" width="640" Преобразование: y = a·sin ( x ), a 1 пусть а=1,5 1 пусть а=1,5 y 1 x" width="640" Преобразование: y = a · cos ( x ), a 1 пусть а=1,5 Преобразование: y = a·sin ( x ) , 0 пусть а=0,5 Преобразование: y = a·cos ( x ), 0 пусть а=0,5 sin ( y x y=sin(x) → y=sin(x- π ) x sin ( y y sin ( x y x - 1 y=cos(x) → y=cos(2x) → y= - cos(2x) → y= - cos(2x)+3 x x x y y sin y sin sin sin y x y x - 1 y=sin(x) → y=sin(x/3) → y=sin(x/3)-2 y x - 1 y=sin(x) → y=2sin(x) → y=2sin(x)-1 y y y cos y cos x + 2 x cos x + 2 cos x y x - 1 y= cos(x) → y=1/2 cos(x) → y=-1/2 cos(x) → y=-1/2 cos(x) +2 y x - 1 y=cos (x) → y=cos(2x) → y= - cos(2x) → Графики тригонометрических функций
Графиком функции у = sin x является синусоида y = sin x Свойства функции :
3. Нечетная ( sin(-x)=-sin x) 4. Нули функции: у=0, sin x=0 при х = n, n Z 0 при х (0+2 n ; +2 n) , n Z у при x (- +2 n ; 0+2 n), n Z" width="640" Свойства функции у = sin x y = sin x 5. Промежутки знакопостоянства : у 0 при х (0+2 n ; +2 n ) , n Z у при x ( - +2 n ; 0+2 n), n Z Свойства функции у= sin x 6. Промежутки монотонности : функция возрастает на промежутках вида: - /2 +2 n ; / 2+2 n n Z Свойства функции у= sin x Промежутки монотонности: функция убывает на промежутках вида: /2 +2 n ; 3 / 2+2 n n Z Свойства функции у = sin x x min x min x max x max 7 . Точки экстремума : x мах = / 2 +2 n , n Z x м in = - / 2 +2 n , n Z Свойства функции у = sin x 8 . Область значений : Е(у) = -1;1 Преобразование графиков тригонометрических функций
Постройте график Функции у = sin(x+ /4 ) y = sin x вспомнить правила Постройте график функции: y=sin (x - /6) y =sin (x+ /4 ) Постройте график функции: y = sin x + y =sin (x - /6 ) y= sin x + Постройте график функции: y=sin (x + /2) вспомнить правила Графиком функции у = cos x является косинусоида sin(x+ /2)=cos x Перечислите свойства функции у = cos x путем сжатия и растяжения
путем сжатия и растяжения y=0.5sinx вспомнить правила путем сжатия и растяжения
путем сжатия и растяжения y = cos2x y = cos 0.5x вспомнить правила путем сжатия и растяжения
косинус –функция четная, значит cos(-kx) = cos(kx) путем сжатия и растяжения y = - 3sinx y = 3sinx вспомнить правила путем сжатия и растяжения y=-2cosx вспомнить правила путем сжатия и растяжения
путем сжатия и растяжения y= cos(2x+ /3) y= cos(2(x+ /6)) y= cos(2x+ /3) y= cos(2(x+ /6)) y=cos(x+ /6) Y= cos(2x+ /3) Y= cos(2x+ /3) вспомнить правила Для любознательных… Посмотрите как выглядят графики некоторых других триг. функций : y = cosec x или y= 1/ sin x читается косеконс y = 1 / cos x или y=sec x ( читается секонс) О тригонометрических функциях можно почитать в работах :
Учитель математики Державинского лицея г. Петрозаводска Присакарь Ольга Борисовна (mail : [email protected])
|
Читайте: |
---|
Популярное:
Пять факторов благополучия от компании IPSEN |
Новое
- Решение головоломки с пирамидой в Ордене Истины в Torment: Tides of Numenera Багровый рассвет приветствует искателя лиловый закат знаменует
- Демоверсия устной части огэ по русскому языку
- Княгиня ольга — духовная мать русского народа
- Сатанинский алтарь Ленина
- Почему щелочной гидролиз сложных эфиров процесс необратимый
- Путешествие в древний Новгород
- Валентные возможности атомов
- Хмурый жлоб порошенко приехал в европу в дырявых носках
- Образец психологического тестирования для поступления на специальность «Правоохранительная деятельность Психологический тест в колледж мчс
- Что предсказывали России знаменитые предсказатели?