Разделы сайта
Выбор редакции:
- Причины восстания черниговского полка
- Азот и его соединения Союз азота с алюминием 6 букв
- Консультация для родителей "Детям о космосе" консультация (подготовительная группа) на тему Дети должны знать и называть
- Андрей Фурсов «Вперед, к победе!
- Сравнительный оборот с союзом «чем …, тем …» с примерами
- Уральские рабочие в армии колчака
- Профильные смены в детских лагерях
- История римской империи от начала до конца кратко, годы существования, интересные факты
- Модель Вселеной. Стационарная Вселенная. Размер вселенной Космологическая модель ранней вселенной эра излучения
- Царь — колокол и его плохая карма — интересные факты
Реклама
Решение дифференциальных уравнений разложением в ряд. Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов |
степенных рядов. С помощью степенных рядов возможно интегрировать дифференциальные уравнения. Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида: Если все коэффициенты и правая часть этого уравнения разлагаются в сходящиеся в некотором интервале степенные ряды, то существует решение этого уравнения в некоторой малой окрестности нулевой точки, удовлетворяющее начальным условиям. Это решение можно представить степенным рядом: Для нахождения решения остается определить неизвестные постоянные c i . Эта задача решается методом сравнения неопределенных коэффициентов . Записанное выражение для искомой функции подставляем в исходное дифференциальное уравнение, выполняя при этом все необходимые действия со степенными рядами (дифференцирование, сложение, вычитание, умножение и пр.) Затем приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях уравнения. В результате с учетом начальных условий получим систему уравнений, из которой последовательно определяем коэффициенты c i . Отметим, что этот метод применим и к нелинейным дифференциальным уравнениям. Пример. Найти решение уравнения c начальными условиями y(0)=1, y’(0)=0. Решение уравнения будем искать в виде Подставляем полученные выражения в исходное уравнение: Отсюда получаем: ……………… Получаем, подставив начальные условия в выражения для искомой функции и ее первой производной: Окончательно получим: Существует и другой метод решения дифференциальных уравнений с помощью рядов. Он носит название метод последовательного дифференцирования. Рассмотрим тот же пример. Решение дифференциального уравнения будем искать в виде разложения неизвестной функции в ряд Маклорена. Если заданные начальные условия y(0)=1, y’(0)=0 подставить в исходное дифференциальное уравнение, получим, что После подстановки полученных значений получаем: Ряды Фурье. (Жан Батист Жозеф Фурье (1768 – 1830) – французский математик) Тригонометрический ряд. Определение. Тригонометрическим рядом называется ряд вида: или, короче, Действительные числа a i , b i называются коэффициентами тригонометрического ряда. Если ряд представленного выше типа сходится, то его сумма представляет собой периодическую функцию с периодом 2p, т.к. функции sinnx и cosnx также периодические функции с периодом 2p. Пусть тригонометрический ряд равномерно сходится на отрезке [-p; p], а следовательно, и на любом отрезке в силу периодичности, и его сумма равна f(x) . Определим коэффициенты этого ряда. Для решения этой задачи воспользуемся следующими равенствами: Справедливость этих равенств вытекает из применения к подынтегральному выражению тригонометрических формул. Подробнее см. Интегрирование тригонометрических функций. Т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [-p; p], то существует интеграл Такой результат получается в результате того, что . Отсюда получаем: Аналогично умножаем выражение разложения функции в ряд на sinnx и интегрируем в пределах от -p до p. Получаем: Выражение для коэффициента а 0 является частным случаем для выражения коэффициентов a n . Таким образом, если функция f(x) – любая периодическая функция периода 2p, непрерывная на отрезке [-p; p] или имеющая на этом отрезке конечное число точек разрыва первого рода, то коэффициенты существуют и называются коэффициентами Фурье для функции f(x). Определение. Рядом Фурье для функции f(x) называется тригонометрический ряд, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье. Если ряд Фурье функции f(x) сходится к ней во всех ее точках непрерывности, то говорят, что функция f(x) разлагается в ряд Фурье. Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье. Теорема. (Теорема Дирихле) Если функция f(x) имеет период 2p и на отрезке [-p;p] непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, и отрезок [-p;p] можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них функция f(x) монотонна, то ряд Фурье для функции f(x) сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности функции f(x) его сумма равна f(x), а в точках разрыва его сумма равна , т.е. среднему арифметическому предельных значений слева и справа. При этом ряд Фурье функции f(x) сходится равномерно на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции f(x). Функция f(x), для которой выполняются условия теоремы Дирихле называется кусочно – монотонной на отрезке [-p;p]. Теорема. Если функция f(x) имеет период 2p, кроме того, f(x) и ее производная f’(x) – непрерывные функции на отрезке [-p;p] или имеют конечное число точек разрыва первого рода на этом отрезке, то ряд Фурье функции f(x) сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности его сумма равна f(x), а в точках разрыва она равна . При этом ряд Фурье функции f(x) сходится равномерно на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции f(x). Функция, удовлетворяющая условиям этой теоремы, называется кусочно – гладкой на отрезке [-p;p]. Разложение в ряд Фурье непериодической функции. Задача разложения непериодической функции в ряд Фурье в принципе не отличается от разложения в ряд Фурье периодической функции. Допустим, функция f(x) задана на отрезке и является на этом отрезке кусочно – монотонной. Рассмотрим произвольную периодическую кусочно – монотонную функцию f 1 (x) c периодом 2Т ³ ïb-aï , совпадающую с функцией f(x) на отрезке . a - 2T a a b a+2T a + 4T x Таким образом, функция f(x) была дополнена. Теперь функция f 1 (x) разлагается в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка совпадает с функцией f(x), т.е. можно считать, что функция f(x) разложена в ряд Фурье на отрезке . Таким образом, если функция f(x) задана на отрезке, равном 2p ничем не отличается от разложения в ряд периодической функции. Если же отрезок, на котором задана функция, меньше, чем 2p, то функция продолжается на интервал (b, a + 2p) так, что условия разложимости в ряд Фурье сохранялись. Вообще говоря, в этом случае продолжение заданной функции на отрезок (интервал) длиной 2p может быть произведено бесконечным количеством способов, поэтому суммы получившихся рядов будут различны, но они будут совпадать с заданной функцией f(x) на отрезке . Ряд Фурье для четных и нечетных функций. Отметим следующие свойства четных и нечетных функций: 2) Произведение двух четных и нечетных функций является четной функцией. 3) Произведение четной и нечетной функций – нечетная функция. Справедливость этих свойств может быть легко доказана исходя из определения четности и нечетности функций. Если f(x) – четная периодическая функция с периодом 2p, удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье, то можно записать: Таким образом, для четной функции ряд Фурье записывается: Аналогично получаем разложение в ряд Фурье для нечетной функции: Пример. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом T = 2p на отрезке [-p;p]. Заданная функция является нечетной, следовательно, коэффициенты Фурье ищем в виде: Определение. Рядом Фурье по ортогональной системе функций j 1 (x), j 2 (x), …,jn(x) называется ряд вида: коэффициенты которого определяются по формуле: где f(x) = - сумма равномерно сходящегося на отрезке ряда по ортогональной системе функций. f(x) – любая функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на отрезке . В случае ортонормированной системы функций коэффициенты определяются: При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики ” возможно запустить программу, которая разлагает в ряд Фурье произвольную функцию. Ряд Тейлора. Ряд МаклоренаПусть - дифференцируемая бесконечное число раз функция в окрестности точки т.е. имеет производные любых порядков. Рядом Тейлора функции в точке называется степенной ряд В частном случае при ряд (1.8) называется рядом Маклорена: Возникает вопрос: В каких случаях ряд Тейлора для дифференцированной бесконечное число раз функции в окрестности точки совпадает с функцией? Возможны случаи, когда ряд Тейлора функции сходится, однако его сумма не равна Приведем достаточное условие сходимости ряда Тейлора функции к этой функции. Теорема 1.4: если в интервале функция имеет производные любого порядка и все они по абсолютной величине ограничены одним и тем же числом, т.е. то ряд Тейлора этой функции сходится к для любого из этого интервала т.е. имеет место равенство Для выяснения выполнения этого равенства на концах интервала сходимости требуются отдельные исследования. Следует отметить, что если функция разлагается в степенной ряд, то этот ряд является рядом Тейлора (Маклорена) этой функции, причем это разложение единственно . Дифференциальные уравненияОбыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка для функции аргумента называется соотношение вида где - заданная функция своих аргументов. В названии этого класса математических уравнений термин «дифференциальное» подчеркивает, что в них входят производные (функции, образованные как результат дифференцирования); термин - «обыкновенное» говорит о том, что искомая функция зависит только от одного действительного аргумента. Обыкновенное дифференциальное уравнение может не содержать в явном виде аргумент искомую функцию и любые ее производные, но старшая производная обязана входить в уравнение n-го порядка . Например, А) - уравнение первого порядка; Б) - уравнение третьего порядка. При написании обыкновенных дифференциальных уравнений часто используются обозначения производных через дифференциалы: В) - уравнение второго порядка; Г) - уравнение первого порядка, образующее после деления на эквивалентную форму задания уравнения: Функция называется решением обыкновенного дифференциального уравнения, если при подстановке в него оно обращается в тождество. Найти тем или иным приемом, например, подбором, одну функцию, удовлетворяющую уравнению, не означает решить его. Решить обыкновенное дифференциальное уравнение - значит найти все функции, образующие при подстановке в уравнение тождество. Для уравнения (1.10) семейство таких функций образуется с помощью произвольных постоянных и называется общим решением обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка, причем число констант совпадает с порядком уравнения: Общее решение может быть, и не разрешено явно относительно В этом случае решение принято называть общим интегралом уравнения (1.10). Задавая некоторые допустимые значения всем произвольным постоянным в общем решении или в общем интеграле, получаем определенную функцию, уже не содержащую произвольных констант. Эта функция называется частным решением или частным интегралом уравнения (1.10). Для отыскания значений произвольных постоянных, а следовательно, и частного решения, используются различные дополнительные условия к уравнению (1.10). Например, могут быть заданы так называемые начальные условия при: В правых частях начальных условий (1.11) заданы числовые значения функции и производных, причем, общее число начальных условий равно числу определяемых произвольных констант. Задача отыскания частного решения уравнения (1.10) по начальным условиям называется задачей Коши . Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядовВ общем случае нахождение точного решения обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) первого порядка его интегрированием невозможно. Тем более это неосуществимо для системы ОДУ. Это обстоятельство привело к созданию большого числа приближенных методов решения ОДУ и их систем. Среди приближенных методов можно выделить три группы: аналитические, графические и численные. Разумеется, подобная классификация в известной мере условна. Например, графический метод ломаных Эйлера лежит в основе одного из способов численного решения дифференциального уравнения. Интегрирование ОДУ при помощи степенных рядов является приближенным аналитическим методом, применяемым, как правило, к линейным уравнениям не ниже второго порядка. Ограничимся для простоты рассмотрением линейного однородного ОДУ второго порядка с переменными коэффициентами Замечание: достаточно широкий класс функций можно представить в виде где - некоторые постоянные. Это выражение называют степенным рядом. Предположим, что функции можно разложить в сходящиеся в интервале ряды: Имеет место следующая теорема (опуская доказательство, приведем лишь ее формулировку) . Теорема 1.5: если функции имеют вид (1.13), то любое решение ОДУ (1.12) представимо в виде сходящегося при степенного ряда: Эта теорема не только дает возможность представить решение в виде степенного ряда, но и, что самое главное, обосновывает сходимость ряда (1.14). Для простоты положим в (1.13) и (1.14) и будем искать решение ОДУ (1.12) в виде Подставив (1.15) в (1.12), получим равенство Для выполнения (1.16) необходимо, чтобы коэффициент при каждой степени был равен нулю. Из этого условия получаем бесконечную систему линейных алгебраических уравнений из которой можно последовательно найти если задать значения и (в случае задачи Коши для ОДУ (1.12) они входят в начальные условия). Если функции являются рациональными, т.е. где - многочлены, то в окрестностях точек, в которых или решение в виде степенного ряда может не существовать, а если и существует, то может расходиться всюду, за исключением точки Это обстоятельство было известно еще Л. Эйлеру, который рассмотрел уравнение первого порядка Этому уравнению удовлетворяет степенной ряд Нетрудно, однако, видеть, что этот ряд расходится при любом Решение ОДУ в виде расходящегося степенного ряда называют формальным . Как найти частное решение ДУ приближённо с помощью ряда?Продолжая изучать практические приложения теории рядов, рассмотрим ещё одну распространённую задачу, название которой вы видите в заголовке. И, чтобы не чувствовать себя газонокосилкой на протяжении урока, давайте сразу же разберёмся в сути задания. Три вопроса и три ответа: Что нужно найти? Частное решение дифференциального уравнения . Намёк между строк шепчет, что к данному моменту желательно хотя бы понимать, что такое дифференциальное уравнение и что такое его решение. КАК по условию требуется это решение? Приближённо – с помощью ряда . И третий закономерный вопрос: почему приближённо? Этот вопрос я уже освещал на уроке Методы Эйлера и Рунге-Кутты , однако повторение не помешает. Будучи сторонником конкретики, вернусь к простейшему дифференциальному уравнению . В ходе первой лекции по диффурам мы нашли его общее решение (множество экспонент) и частное решение , соответствующее начальному условию . График функции – это самая обычная линия, которую нетрудно изобразить на чертеже. Но то элементарный случай. На практике встречается великое множество дифференциальных уравнений, неразрешимых аналитически точно (по крайне мере, известными на сегодняшний день способами). Иными словами, как ни крути такое уравнение – проинтегрировать его не удастся. А закавыка состоит в том, что общее решение (семейство линий на плоскости) может существовать . И тогда на помощь приходят методы вычислительной математики. Встречаем нашу радость! Типовая задача формулируется следующим образом: … , удовлетворяющее начальному условию , в виде трёх (реже – четырёх-пяти) отличных от нуля членов ряда Тейлора . Искомое частное решение раскладывается в данный ряд по известной формуле: Единственное, здесь вместо буквы «эф» используется «игрек» (так уж повелось). Идея и смысл тоже знакомы : для некоторых диффуров и при некоторых условиях (не будем вдаваться в теорию) построенный степенной ряд будет сходиться к искомому частному решению . То есть, чем больше членов ряда мы рассмотрим, тем точнее график соответствующего многочлена приблизит график функции . Следует отметить, что вышесказанное применимо и к самым простым случаям. Проведём незамысловатое детское исследование на том же горшке: Пример 1 Найти приближённо частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию в виде четырёх первых отличных от нуля членовряда Тейлора. Решение
: в условиях данной задачи , поэтому общая формула Тейлора трансформируется в частный случай разложения в ряд Маклорена
: Немного забегая вперёд, скажу, что в практических заданиях значительно чаще встречается именно этот, более компактный ряд. Занесите обе рабочие формулы в свой справочник. Разбираемся со значениями . Этапы решения удобно занумеровать: 0) На нулевом шаге записываем значение , которое всегда известно из условия. В тетради итоговые результаты пунктов желательно обводить в кружок, чтобы они были хорошо видны и не затерялись в решении. Мне по техническим причинам сподручнее выделять их жирным шрифтом. Кроме того, отмечаем, что данное значение не равно нулю ! Ведь по условию требуется найти четыре отличных от нуля членовряда. 1) Вычислим . Для этого в правую часть исходного уравнения вместо «игрека» подставляем известное значение : 2) Вычислим . Сначала находим вторую производную
: Подставляем в правую часть найдённое в предыдущем пункте значение : В распоряжении уже три ненулевых члена разложения, нужен ещё один: Пример 2 Найти приближённо частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию в виде трёх первых отличных от нуля членовряда Тейлора. Решение начинается стандартной фразой: В данной задаче , следовательно: Теперь последовательно находим значения – до тех пор, пока не будут получены три ненулевых результата. Если повезёт, то отличны от нуля будут – это идеальный случай с минимальным количеством работы. Нарезаем пункты решения: 0) По условию . Вот и первый успех. 1) Вычислим . Сначала разрешим исходное уравнение относительно первой производной, то есть, выразим . Подставим в правую часть известные значения : Получена баранка и это не есть хорошо, поскольку нас интересуют ненулевые значения. Однако ноль – тоже результат , который не забываем обвести в кружок или выделить каким-нибудь другим способом. 2) Находим вторую производную и подставляем в правую часть известные значения : Второй «не ноль». 3) Находим – производную от второй производной: Вообще, задание чем-то напоминает Сказку про Репку, когда дедка, бабка и внучка зовут на помощь жучку, кошку и т.д. И в самом деле, каждая следующая производная выражается через своих «предшественников». Подставим в правую часть известные значения : Третье ненулевое значение. Вытащили Репку. Аккуратно и внимательно подставляем «жирные» числа в нашу формулу: Ответ : искомое приближенное разложение частного решения: В рассмотренном примере попался всего один ноль на втором месте, и это не так уж плохо. В общем случае нулей может встретиться сколько угодно и где угодно. Повторюсь, их очень важно выделять наряду с ненулевыми результатами, чтобы не запутаться в подстановках на завершающем этапе. Вот, пожалуйста – бублик на самом первом месте: Пример 3 Найти приближённо частное решение дифференциального уравнения , соответствующее начальному условию , в виде трёх первых отличных от нуля членовряда Тейлора. Примерный образец оформления задачи в конце урока. Пункты алгоритма можно и не нумеровать (оставляя, например, пустые строки между шагами), но начинающим рекомендую придерживаться строгого шаблона. Рассматриваемая задача требует повышенного внимания – если допустить ошибку на каком-либо шаге, то всё остальное тоже будет неверным! Поэтому ваша ясная голова должна работать как часы. Увы, это не интегралы или диффуры , которые надёжно решаются и в утомлённом состоянии, поскольку позволяют выполнить эффективную проверку. На практике заметно чаще встречается разложение в ряд Маклорена : Пример 4 Решение : в принципе, можно сразу записать разложение Маклорена , но оформление задачи академичнее начать с общего случая: Разложение частного решения дифференциального уравнения при начальном условии имеет вид: В данном случае , следовательно: 0) По условию . Ну что поделать…. Будем надеяться, что нулей встретится поменьше. 1) Вычислим . Первая производная уже готова к употреблению. Подставим значения : 2) Найдём вторую производную: И подставим в неё : Резво дело пошло! 3) Находим . Распишу очень подробно: Заметьте, что к производным применимы обычные алгебраические правила: приведение подобных слагаемых на последнем шаге и запись произведения в виде степени: (там же). Подставим в всё, что нажито непосильным трудом : Три ненулевых значения рождены. Подставляем «жирные» числа в формулу Маклорена, получая тем самым приближенное разложение частного решения: Ответ : Для самостоятельного решения: Пример 5 Представить приближенно частное решение ДУ, соответствующее заданному начальному условию , в виде суммы трех первых отличных от нуля членов степенного ряда. Примерный образец оформления в конце урока. Как видите, задача с частным разложением в ряд Маклорена оказалась даже труднее общего случая. Сложность рассматриваемого задания, как мы только что убедились, состоит не столько в самом разложении, сколько в трудностях дифференцирования. Более того, порой, приходится находить 5-6 производных (а то и больше), что повышает риск ошибки. И в завершении урока предлагаю пару задач повышенной сложности: Пример 6 Решить дифференциальное уравнение приближённо с помощью разложения частного решения в ряд Маклорена, ограничившись тремя первыми ненулевыми членами ряда Решение
:перед нами диффур второго порядка, но это практически не меняет дела. По условию и нам сразу же предложено воспользоваться рядом Маклорена, чем мы не преминем воспользоваться. Запишем знакомое разложение, прихватив на всякий пожарный побольше слагаемых: Алгоритм работает точно так же: 0) – по условию. 1) – по условию. 2) Разрешим исходное уравнение относительно второй производной: . И подставим : Первое ненулевое значение Щёлкаем производные и выполняем подстановки: Подставим и : Подставим : Второе ненулевое значение. 5) – по ходу дела приводим подобные производные. Подставим : Подставим : Наконец-то. Впрочем, бывает и хуже. Таким образом, приближенное разложение искомого частного решения: |
Популярное:
Новое
- Азот и его соединения Союз азота с алюминием 6 букв
- Консультация для родителей "Детям о космосе" консультация (подготовительная группа) на тему Дети должны знать и называть
- Андрей Фурсов «Вперед, к победе!
- Сравнительный оборот с союзом «чем …, тем …» с примерами
- Уральские рабочие в армии колчака
- Профильные смены в детских лагерях
- История римской империи от начала до конца кратко, годы существования, интересные факты
- Модель Вселеной. Стационарная Вселенная. Размер вселенной Космологическая модель ранней вселенной эра излучения
- Царь — колокол и его плохая карма — интересные факты
- «Очарованный странник Краткое содержание очарованный странник