Разделы сайта
Выбор редакции:
- Консультация для родителей "Детям о космосе" консультация (подготовительная группа) на тему Дети должны знать и называть
- Андрей Фурсов «Вперед, к победе!
- Сравнительный оборот с союзом «чем …, тем …» с примерами
- Уральские рабочие в армии колчака
- Профильные смены в детских лагерях
- История римской империи от начала до конца кратко, годы существования, интересные факты
- Модель Вселеной. Стационарная Вселенная. Размер вселенной Космологическая модель ранней вселенной эра излучения
- Царь — колокол и его плохая карма — интересные факты
- «Очарованный странник Краткое содержание очарованный странник
- Значение слова биосинтез Новый толково-словообразовательный словарь русского языка, Т
Реклама
Уравнение движения по параболе. Движение тела под углом к горизонту: формулы, расчет дальности полета и максимальной высоты взлета |
Максимальная дальность полета камня, выпущенного из неподвижной катапульты, равна S = 22,5 м . Найдите максимально возможную дальность полета камня, выпущенного из этой же катапульты, установленной на платформе, которая движется горизонтально с постоянной скоростью v = 15,0 м/с . Сопротивление воздуха не учитывать, ускорение свободного падения считать g = 10,0 м/с 2 . Решение: Хорошо известно, что максимальная дальность полета тела, брошенного под углом к горизонту, достигается при угле вылета равном 45° и определяется формулой: Рассмотрим теперь полет камня, выпущенного из движущейся катапульты. Введем систему координат, оси которой: X — направлена горизонтально, а Y — вертикально. Начало координат совместим с положением катапульты в момент вылета камня. Для вычисления вектора скорости камня необходимо учесть горизонтальную скорость движения катапульты v = v o . Допустим, что катапульта выбрасывает камень под углом α к горизонту. Тогда компоненты начальной скорости камня в нашей системе координат могут быть записаны в виде: Подставив это выражение в первое уравнение системы (3), получим дальность полета камня:Во-вторых, из (5) совсем не следует, что S 1 будет максимально при α = 45° (это справедливо для (6), когда v = 0 ). Предлагая эту задачу на республиканскую олимпиаду, авторы были убеждены, что девять десятых участников получат формулу (5) и затем подставят в нее значение α = 45° . Однако, к нашему сожалению, мы ошиблись: ни один из олимпийцев не усомнился в том, что максимальная дальность полета всегда (!) достигается при угле вылета, равном 45° . Этот широко известный факт имеет ограниченные рамки применимости: он справедлив только, если: а) не учитывать сопротивление воздуха; Вернемся к решению задачи. Итак, нам необходимо найти значение угла α , при котором S 1 определяемое формулой (5), максимально. Можно, конечно, найти экстремум функции, используя аппарат дифференциального исчисления: найти производную, положить ее равной нулю и, решив полученное уравнение, найти искомое значение α . Однако, учитывая, что задача была предложена ученикам 9-х классов, мы дадим ее геометрическое решение. Воспользуемся тем обстоятельством, что v = v o = 15 м/с . Расположим векторы v и v o как показано на рис. Так как их длины равны, то вокруг них можно описать окружность с центром в точке О. Тогда длина отрезка AC равна v o + v o cos α (это есть v xo ), а длина отрезка BC равна v o sin α (это v yo ). Их произведение равно удвоенной площади треугольника АВС , или площади треугольника АВВ 1 . Обратите внимание, что именно произведение входит в выражение для дальности полета (5). Иными словами, дальность полета равна произведению площади ΔАВВ 1 на постоянный множитель 2/g . А теперь зададимся вопросом: какой из вписанных в данную окружность треугольников имеет максимальную площадь? Естественно, правильный! Поэтому искомое значение угла α = 60° . Вектор AB есть вектор полной начальной скорости камня, он направлен под углом 30° к горизонту (опять же отнюдь не 45° ). Таким образом, окончательное решение задачи следует из формулы (5), в которую следует подставить α = 60° . Когда изучают механическое движение в физике, то после ознакомления с равномерным и равноускоренным перемещением объектов, переходят к рассмотрению движения тела под углом к горизонту. В данной статье изучим подробнее этот вопрос. Что собой представляет движение тела под углом к горизонту?Этот тип перемещения объектов возникает, когда человек бросает камень в воздух, пушка совершает выстрел ядром, или вратарь выбивает от ворот футбольный мяч. Все подобные случаи рассматриваются наукой баллистикой. Отмеченный вид перемещения объектов в воздухе происходит по параболической траектории. В общем случае проведение соответствующих расчетов является делом не простым, поскольку необходимо учитывать сопротивление воздуха, вращение тела во время полета, вращение Земли вокруг оси и некоторые другие факторы. В данной статье мы не будем учитывать все эти факторы, а рассмотрим вопрос с чисто теоретической точки зрения. Тем не менее, полученные формулы достаточно хорошо описывают траектории тел, перемещающихся на небольшие расстояния. Получение формул для рассматриваемого вида движенияВыведем тела к горизонту под углом. При этом будем учитывать только одну-единственную силу, действующую на летящий объект - силу тяжести. Поскольку она действует вертикально вниз (параллельно оси y и против нее), то, рассматривая горизонтальную и вертикальную составляющие движения, можно сказать, что первая будет иметь характер равномерного прямолинейного перемещения. А вторая - равнозамедленного (равноускоренного) прямолинейного перемещения с ускорением g. То есть, компоненты скорости через значение v 0 (начальная скорость) и θ (угол направления движения тела) запишутся так:
Первая формула (для v x) справедлива всегда. Что касается второй, то тут нужно отметить один нюанс: знак минус перед произведением g*t ставится только в том случае, если вертикальная компонента v 0 *sin(θ) направлена вверх. В большинстве случаев так и происходит, однако, если бросить тело с высоты, направив его вниз, тогда в выражении для v y следует поставить знак "+" перед g*t. Проинтегрировав формулы для компонент скорости по времени, и учитывая начальную высоту h полета тела, получаем уравнения для координат:
Вычисление дальности полетаПри рассмотрении в физике движения тела к горизонту под углом, полезным для практического применения, оказывается расчет дальности полета. Определим ее. Поскольку это перемещение представляет собой равномерное движения без ускорения, то достаточно подставить в него время полета и получить необходимый результат. Дальность полета определяется исключительно перемещением вдоль оси x (параллельно горизонту). Время нахождения тела в воздухе можно вычислить, приравняв к нулю координату y. Имеем:
Это квадратное уравнение решаем через дискриминант, получаем:
В последнем выражении один корень со знаком минуса отброшен, в виду его незначительного физического значения. Подставив время полета t в выражение для x, получаем дальность полета l:
Проще всего это выражение проанализировать, если начальная высота равна нулю (h=0), тогда получим простую формулу:
Это выражение свидетельствует, что максимальную дальность полета можно получить, если тело бросить под углом 45 o (sin(2*45 o) = м1). Максимальная высота подъема телаПомимо дальности полета, также полезно найти высоту над землей, на которую может подняться тело. Поскольку этот тип движения описывается параболой, ветви которой направлены вниз, то максимальная высота подъема является ее экстремумом. Последний рассчитывается путем решения уравнения для производной по t для y:
Подставляем это время в уравнение для y, получаем:
Это выражение свидетельствует, что на максимальную высоту тело поднимется, если его бросить вертикально вверх (sin 2 (90 o) = 1). В этой статье рассмотрим анализ ситуации, когда тело бросили под углом к горизонту. Это может быть бросок камня рукой, выстрел снаряда из пушки, запуск стрелы из лука и так далее. Все названные ситуации описываются одинаково с математической точки зрения. Особенность движения под углом к горизонтуВ чем сходство названных выше примеров с точки зрения физики? Оно заключается в характере действующих на тело сил. Во время свободного полета некоторого тела на него действуют всего две силы:
Если масса тела достаточно велика, а его форма является заостренной (снаряд, стрела), то сопротивлением воздуха можно пренебречь. Таким образом, движение брошенного под углом к горизонту тела - это задача, в которой фигурирует только сила тяжести. Именно она и определяет форму траектории, которая с хорошей точностью описывается параболической функцией. Уравнения движения по параболической траектории. СкоростьТело бросили под углом к горизонту. Как можно описать его движение? Поскольку единственная действующая в процессе полета тела сила направлена вниз, то ее горизонтальная составляющая равна нулю. Этот факт означает, что горизонтальное перемещение объекта однозначно определяется начальными условиями (углом броска или выстрела θ и скоростью v). Вертикальное же перемещение тела - это яркий пример равноускоренного движения, где роль ускорения играет постоянная g (9,81 м/с 2). Учитывая сказанное выше, можно записать две компоненты для скорости летящего тела в момент времени t:
Как видно, компонента v x от времени не зависит и остается постоянной на протяжении всей траектории полета (следствие отсутствия внешних сил в направлении оси x). Компонента же v y имеет максимум в начальный момент времени. А затем начинает уменьшаться вплоть до того, что обращается в ноль в максимальной точке взлета тела. После этого она изменяет знак и в момент падения оказывается равной модулю начальной компоненты v y , то есть v*sin(θ). Записанные уравнения позволяют определить скорость тела, брошенного под углом к горизонту в любой момент t. Ее модуль будет равен:
Уравнения движения по параболической траектории. Дальность полетаТело бросили под углом к горизонту. Какое расстояние оно пролетит? Вопрос дальности полета касается изменения координаты x. Найти эту величину можно, если проинтегрировать обе компоненты скорости по времени. В результате интегрирования получаем формулы:
Разница координат x и x 0 - это и есть дальность полета. Если же положить, что x 0 = 0, тогда дальность будет равна x, для нахождения которой нужно знать, сколько времени t тело будет находиться в воздухе. Второе уравнение позволяет рассчитать это время при условии, если известна величина y 0 (высота h, с которой бросают тело). Когда объект завершит свое движение (упадет на землю), то его координата y обратится в ноль. Рассчитаем время, когда это произойдет. Имеем:
Перед нами полное квадратное равенство. Решаем его через дискриминант:
Отбрасываем отрицательный корень. Получаем следующее время полета:
Подставляем теперь это значение в равенство для дальности полета. Получаем:
Если тело брошено с земли, то есть h = 0, тогда эта формула значительно упростится. И примет вид:
Последнее выражение было получено с использованием связи между тригонометрическими функциями синуса и косинуса (формулы приведения). Поскольку синус имеет максимальное значение для прямого угла, тогда максимальная дальность полета достигается, когда тело бросают (выстреливают) с поверхности земли под углом 45°, и эта дальность равна: Высота тела, брошенного под углом к горизонтуТеперь определим еще один важный параметр - высоту, на которую способен подняться брошенный объект. Очевидно, что для этого достаточно рассмотреть только изменение координаты y. Итак, тело бросили под углом к горизонту, на какую высоту оно взлетит? Эта высота будет соответствовать равенству нулю компоненты скорости v y . Имеем уравнение:
Решаем уравнение. Получаем: Теперь следует подставить это время в выражение для координаты y. Получаем:
Эта формула свидетельствует о том, что максимальная высота, в отличие от дальности полета, получается, если бросить тело строго вертикально (θ = 90). В этом случае приходим к формуле: Любопытно отметить, что во всех приведенных в этой статье формулах не фигурирует масса тела. Характеристики параболической траектории от нее не зависят, но только в случае отсутствия сопротивления воздуха. Инструкция Пусть тело брошено под углом α к горизонту с начальной скоростью v0. Начальные координаты тела пусть будут нулевыми: x(0)=0, y(0)=0. В проекциях на координатные оси начальная скорость разложится по двум составляющим: v0(x) и v0(y). То же самое скорости вообще. По оси Ox скорость условно считается постоянной, по оси Oy меняется под воздействием . Ускорение свободного падения g можно принять примерно за 10м/с². Угол α, под которым брошено тело, задан не случайно. Через него можно расписать начальную скорость в координатных осях. Так, v0(x)=v0·cos(α), v0(y)=v0·sin(α). Теперь можно получить функцию координатных составляющих скорости: v(x)=const=v0(x)=v0·cos(α), v(y)=v0(y)-g·t=v0·sin(α)-g·t. Координаты тела x и y зависят от времени t. Таким образом, можно составить два уравнения зависимости: x=x0+v0(x)·t+a(x)·t²/2, y=y0+v0(y)·t+a(y)·t²/2. Поскольку по x0=0, a(x)=0, то x=v0(x)·t=v0·cos(α)·t. Также известно, что y0=0, a(y)=-g (знак « » появляется оттого, что направление ускорения свободного падения g и положительное направление оси Oy противоположны). Поэтому y=v0·sin(α)·t-g·t²/2. Время полета можно выразить из формулы скорости, зная, что в максимальной точке тело на мгновение останавливается (v=0), а длительности «подъема» и «спуска» равны. Итак, при подстановке v(y)=0 в уравнение v(y)=v0·sin(α)-g·t получается: 0=v0·sin(α)-g·t(p), где t(p) – пиковое время, «t вершинное». Отсюда t(p)=v0·sin(α)/g. Общее время полета тогда выразится как t=2·v0·sin(α)/g. Ту же формулу можно получить и другим способом, математическим, из уравнения для координаты y=v0·sin(α)·t-g·t²/2. Это уравнение можно переписать в немного измененном виде: y=-g/2·t²+v0·sin(α)·t. Видно, что это квадратичная зависимость, где y – функция, t – аргумент. Вершиной параболы, описывающей траекторию, является точка t(p)=[-v0·sin(α)]/[-2g/2]. Минусы и двойки сокращаются, поэтому t(p)=v0·sin(α)/g. Если обозначить максимальную высоту за H и вспомнить, что пиковая точка является вершиной параболы, по которой движется тело, то H=y(t(p))=v0²sin²(α)/2g. То есть, чтобы получить высоту, надо «t вершинное» подставить в уравнение для координаты y. Итак, время полета записывается как t=2·v0·sin(α)/g. Чтобы его изменить, надо соответственно менять начальную скорость и угол наклона. Чем больше скорость – тем дольше летит тело. С углом несколько сложнее, ведь время зависит не от самого угла, а от его синуса. Максимально возможное значение синуса – единица – достигается при угле наклона в 90°. Это означает, что дольше всего тело летит тогда, когда его бросают вертикально вверх. Дальность полета является конечной координатой x. Если подставить найденное уже время полета в уравнение x=v0·cos(α)·t, то легко найти, что L=2v0²sin(α)cos(α)/g. Здесь можно применить тригонометрическую формулу двойного угла 2sin(α)cos(α)=sin(2α), тогда L=v0²sin(2α)/g. Синус двух альфа равен единице тогда, когда 2α=п/2, α=п/4. Таким образом, дальность полета максимальна в том случае, если тело бросить под углом 45°. Это творческое задание для мастер-класса по информатике для школьников при ДВФУ. В разделе "Аналитическое исследование" изложена теория. Этот раздел можно пропустить, но он должен быть, в основном, понятным для вас, потому что бо
льшую часть из этого вы проходили в школе. Аналитическое исследованиеВведём прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке. В начальный момент времени тело массой m находится в начале координат. Вектор ускорения свободного падения направлен вертикально вниз и имеет координаты (0, -g ).- вектор начальной скорости. Разложим этот вектор по базису: . Здесь , где - модуль вектора скорости, - угол бросания. Запишем второй закон Ньютона: . Следовательно, 2-й закон Ньютона можно переписать в следующем виде: Мы будем рассматривать три случая: Вначале рассмотрим 1-й случай. Проанализируем полученные формулы. Из этой формулы следует, что максимальная дальность полёта достигается при .
И подставим полученное выражение для t
в равенство для y
. Полученная функция y
(x
) -- квадратичная функция, её графиком является парабола, ветви которой направлены вниз.
Теперь рассмотрим второй случай: . Второй закон приобретает вид , Мы получили два линейных дифференциальных уравнения
. В чём можно убедиться, подставив данную функцию в уравнение для v x
и в начальное условие . Так как ,
, то при наличии сопротивления воздуха движение тела стремится к равномерному, в отличие от случая 1, когда скорость неограниченно увеличивается.
Найдём выражения для x и y . Так как x (0) = 0, y (0) = 0, то Нам осталось рассмотреть случай 3, когда . Второй закон Ньютона имеет вид , или . В скалярном виде это уравнение имеет вид: Это система нелинейных дифференциальных уравнений . Данную систему не удаётся решить в явном виде, поэтому необходимо применять численное моделирование. Численное исследованиеВ предыдущем разделе мы увидели, что в первых двух случаях закон движения тела можно получить в явном виде. Однако в третьем случае необходимо решать задачу численно. При помощи численных методов мы получим лишь приближённое решение, но нас вполне устроит и небольшая точность. (Число π или квадратный корень из 2, кстати, нельзя записать абсолютно точно, поэтому при расчётах берут какое-то конечное число цифр, и этого вполне хватает.)Будем рассматривать второй случай, когда сила сопротивления воздуха определяется формулой. Отметим, что при k = 0 получаем первый случай. Скорость тела подчиняется следующим уравнениям:
Попробуем найти решения этих уравнений при помощи численных методов. Для этого введём на временной оси сетку
: выберем число
и будем рассматривать моменты времени вида :
. Наша задача -- приближённо вычислить значения в узлах сетки. Заменим в уравнениях ускорение (мгновенную скорость
изменения скорости) на среднюю скорость
изменения скорости, рассматривая движение тела на промежутке времени : Теперь подставим полученные аппроксимации в наши уравнения. Полученные формулы позволяют нам вычислить значения функций в следующем узле сетки, если известны значения этих функций в предыдущем узле сетки. При помощи описанного метода мы можем получить таблицу приближённых значений компонент скорости. Как найти закон движения тела, т.е. таблицу приближённых значений координат x
(t
), y
(t
)? Аналогично! Значение vx[j] равняется значению функции , для других массивов аналогично. В Паскале и Си для вычисления синуса и косинуса имеются функции sin(x) , cos(x) . Обратите внимание, что эти функции принимают аргумент в радианах. Вам необходимо построить график движения тела при k
= 0 и k
> 0 и сравнить полученные графики. Графики можно построить в Excel. Обратите внимание, что вы можете протестировать вашу программу и проверить ваши графики, сравнив результаты вычислений при k = 0 с точными формулами, приведёнными в разделе "Аналитическое исследование". Поэкспериментируйте со своей программой. Убедитесь в том, что при отсутствии сопротивления воздуха (k
= 0) максимальная дальность полёта при фиксированной начальной скорости достигается при угле в 45°. На рисунке представлены траектории тела при v 0 = 10 м/с, α = 45°, g = 9,8 м/с 2 , m = 1 кг, k = 0 и 1, полученные при помощи численного моделирования при Δt = 0,01. Вы можете ознакомиться с замечательной работой 10-классников из г. Троицка, представленной на конференции "Старт в науку" в 2011 г. Работа посвящена моделированию движения теннисного шарика, брошенного под углом к горизонту (с учетом сопротивления воздуха). Применяется как численное моделирование, так и натурный эксперимент. Таким образом, данное творческое задание позволяет познакомиться с методами математического и численного моделирования, которые активно используются на практике, но мало изучаются в школе. К примеру, данные методы использовались при реализации атомного и космического проектов в СССР в середине XX века. |
Читайте: |
---|
Популярное:
Новое
- Андрей Фурсов «Вперед, к победе!
- Сравнительный оборот с союзом «чем …, тем …» с примерами
- Уральские рабочие в армии колчака
- Профильные смены в детских лагерях
- История римской империи от начала до конца кратко, годы существования, интересные факты
- Модель Вселеной. Стационарная Вселенная. Размер вселенной Космологическая модель ранней вселенной эра излучения
- Царь — колокол и его плохая карма — интересные факты
- «Очарованный странник Краткое содержание очарованный странник
- Значение слова биосинтез Новый толково-словообразовательный словарь русского языка, Т
- Поэзия бодлера. Бодлер шарль пьер. Стихи и музыка