Разделы сайта
Выбор редакции:
- Пусть школьник почитает фантастическую трилогию
- Самые короткие басни крылова которые легко учатся
- Ты сер, а я, приятель, сед Анализ басни Волк на псарне
- Главный пограничник советского союза
- День образования военной инспекции минобороны рф Военная инспекция министерства обороны российской федерации
- Причины восстания черниговского полка
- Азот и его соединения Союз азота с алюминием 6 букв
- Консультация для родителей "Детям о космосе" консультация (подготовительная группа) на тему Дети должны знать и называть
- Андрей Фурсов «Вперед, к победе!
- Сравнительный оборот с союзом «чем …, тем …» с примерами
Реклама
Где на окружности находится arctg 1 3. Урок "Арктангенс и арккотангенс |
Функции sin, cos, tg и ctg всегда сопровождаются арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом. Одно является следствием другого, а пары функций одинаково важны для работы с тригонометрическими выражениями. Рассмотрим рисунок единичной окружности, на котором графически отображено значений тригонометрических функций. Если вычислить arcs OA, arcos OC, arctg DE и arcctg MK, то все они будут равны значению угла α. Формулы, приведенные ниже, отражают взаимосвязь основных тригонометрических функций и соответствующих им арков. Чтобы больше понять о свойствах арксинуса, необходимо рассмотреть его функцию. График имеет вид асимметричной кривой, проходящей через центр координат. Свойства арксинуса: Если сопоставить графики sin и arcsin , у двух тригонометрических функций можно найти общие закономерности. АрккосинусArccos числа а — это значение угла α, косинус которого равен а. Кривая y = arcos x зеркально отображает график arcsin x, с той лишь разницей, что проходит через точку π/2 на оси OY. Рассмотрим функцию арккосинуса более подробно:
Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса. Возможно, школьникам покажется излишним такое «подробное» изучение «арков». Однако, в противном случае, некоторые элементарные типовые задания ЕГЭ могут ввести учащихся в тупик. Задание 1. Укажите функции изображенные на рисунке. Ответ: рис. 1 – 4, рис.2 — 1. В данном примере упор сделан на мелочах. Обычно ученики очень невнимательно относятся к построению графиков и внешнему виду функций. Действительно, зачем запоминать вид кривой, если ее всегда можно построить по расчетным точкам. Не стоит забывать, что в условиях теста время, затраченное на рисунок для простого задания, потребуется для решения более сложных заданий. АрктангенсArctg числа a – это такое значение угла α, что его тангенс равен а. Если рассмотреть график арктангенса, можно выделить следующие свойства:
Приведем краткий сравнительный анализ tg x и arctg x в виде таблицы. АрккотангенсArcctg числа a — принимает такое значение α из интервала (0; π), что его котангенс равен а. Свойства функции арккотангенса:
Сопоставить ctg x и arctg x очень просто, нужно лишь сделать два рисунка и описать поведение кривых. Задание 2. Соотнести график и форму записи функции. Если рассуждать логически, из графиков видно, что обе функции возрастающие. Следовательно, оба рисунка отображают некую функцию arctg. Из свойств арктангенса известно, что y=0 при x = 0, Ответ: рис. 1 – 1, рис. 2 – 4. Тригонометрические тождества arcsin, arcos, arctg и arcctgРанее нами уже была выявлена взаимосвязь между арками и основными функциями тригонометрии. Данная зависимость может быть выражена рядом формул, позволяющих выразить, например, синус аргумента, через его арксинус, арккосинус или наоборот. Знание подобных тождеств бывает полезным при решении конкретных примеров. Также существуют соотношения для arctg и arcctg: Еще одна полезная пара формул, устанавливает значение для суммы значений arcsin и arcos, а также arcctg и arcctg одного и того же угла. Примеры решения задачЗадания по тригонометрии можно условно разделить на четыре группы: вычислить числовое значение конкретного выражения, построить график данной функции, найти ее область определения или ОДЗ и выполнить аналитические преображения для решения примера. При решении первого типа задач необходимо придерживаться следующего плана действий: При работе с графиками функций главное – это знание их свойств и внешнего вида кривой. Для решения тригонометрических уравнений и неравенств необходимы таблицы тождеств. Чем больше формул помнит школьник, тем проще найти ответ задания. Допустим в ЕГЭ необходимо найти ответ для уравнения типа: Если правильно преобразовать выражение и привести к нужному виду, то решить его очень просто и быстро. Для начала, перенесем arcsin x в правую часть равенства. Если вспомнить формулу arcsin (sin α) = α , то можно свести поиск ответов к решению системы из двух уравнений: Ограничение на модель x возникло, опять таки из свойств arcsin: ОДЗ для x [-1; 1]. При а ≠0, часть сиcтемы представляет собой квадратное уравнение с корнями x1 = 1 и x2 = — 1/a. При a = 0, x будет равен 1. Ранее по программе учащиеся получили представление о решении тригонометрических уравнений, ознакомились с понятиями арккосинуса и арксинуса, примерами решений уравнений cos t = a и sin t = a. В этом видеоуроке рассмотрим решение уравнений tg x = a и ctg x = a. В начале изучения данной темы рассмотрим уравнения tg x = 3 и tg x = - 3. Если уравнение tg x = 3 будем решать с помощью графика, то увидим, что пересечение графиков функций y = tg x и y = 3 имеет бесконечное множество решений, где x = x 1 + πk. Значение x 1 - это координата x точки пересечения графиков функций y = tg x и y = 3. Автор вводит понятие арктангенса: arctg 3 это число, tg которого равен 3, и это число принадлежит интервалу от -π/2 до π/2. Используя понятие арктангенса, решение уравнения tg x = 3 можно записать в виде x = arctg 3 + πk. По аналогии решается уравнение tg x = - 3. По построенным графикам функций y = tg x и y = - 3 видно, что точки пересечения графиков, а следовательно, и решениями уравнений, будет x = x 2 + πk. С помощью арктангенса решение можно записать как x = arctg (- 3) + πk. На следующем рисунке увидим, что arctg (- 3) = - arctg 3. Общее определение арктангенса выглядит следующим образом: арктангенсом а называется такое число из промежутка от -π/2 до π/2, тангенс которого равен а. Тогда решением уравнения tg x = a является x = arctg a + πk. Автор приводит пример 1. Найти решение выражения arctg.Введем обозначения: арктангенс числа равен x, тогда tg x будет равен данному числу, где x принадлежит отрезку от -π/2 до π/2. Как в примерах в предыдущих темах, воспользуемся таблицей значений. По этой таблице тангенсу данного числа соответствует значение x = π/3. Запишем решение уравнения арктангенс заданного числа равен π/3, π/3 принадлежит и интервалу от -π/2 до π/2. Пример 2 - вычислить арктангенс отрицательного числа. Используя равенство arctg (- a) = - arctg a, введем значение x. Аналогично примеру 2 запишем значение x, которое принадлежит отрезку от -π/2 до π/2. По таблице значений найдем, что x = π/3, следовательно, -- tg x = - π/3. Ответом уравнения будет - π/3. Рассмотрим пример 3. Решим уравнение tg x = 1. Запишем, что x = arctg 1 + πk. В таблице значению tg 1 соответствует значение x = π/4, следовательно, arctg 1 = π/4. Подставим это значение в исходную формулу x и запишем ответ x = π/4 + πk. Пример 4: вычислить tg x = - 4,1. В данном случае x = arctg (- 4,1) + πk. Т.к. найти значение arctg в данном случае нет возможности, ответ будет выглядеть как x = arctg (- 4,1) + πk. В примере 5 рассматривается решение неравенства tg x > 1. Для решения построим графики функций y = tg x и y = 1. Как видно на рисунке, эти графики пересекаются в точках x = π/4 + πk. Т.к. в данном случае tg x > 1, на графике выделим область тангенсоиды, которая находится выше графика y = 1, где x принадлежит интервалу от π/4 до π/2. Ответ запишем как π/4 + πk < x < π/2 + πk. Далее рассмотрим уравнение ctg x = a. На рисунке изображены графики функций у = ctg x, y = a, y = - a, которые имеют множество точек пересечения. Решения можно записать как x = x 1 + πk, где x 1 = arcctg a и x = x 2 + πk, где x 2 = arcctg (- a). Отмечено, что x 2 = π - x 1 . Из этого следует равенство arcctg (- a) = π - arcctg a. Далее дается определение арккотангенса: арккотангенсом а называется такое число из промежутка от 0 до π, котангенс которого равен а. Решение уравнения сtg x = a записывается в виде: x = arcctg a + πk. В конце видеоурока делается еще один важный вывод - выражение ctg x = a можно записать в виде tg x = 1/a, при условии, что a не равно нулю. ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА: Рассмотрим решение уравнений tg х = 3 и tg х= - 3. Решая первое уравнение графически, мы видим, что графики функций у = tg х и у = 3 имеют бесконечно много точек пересечения, абсциссы которых запишем в виде х = х 1 + πk, где х 1 - это абсцисса точки пересечения прямой у = 3 с главной ветвью тангенсоиды (рис.1), для которой было придумано обозначение arctg 3 (арктангенс трех). Как же понимать arctg 3? Это число, тангенс которого равен 3 и это число принадлежит интервалу (- ;). Тогда все корни уравнения tg х = 3 можно записать формулой х = arctg 3+πk. Аналогично решение уравнения tg х = - 3 можно записать в виде х = х 2 + πk, где х 2 - это абсцисса точки пересечения прямой у = - 3 с главной ветвью тангенсоиды (рис.1), для которой было придумано обозначение arctg(-3) (арктангенс минус трех). Тогда все корни уравнения можно записать формулой: х = arctg(-3)+ πk. По рисунку видно, что arctg(- 3)= - arctg 3. Сформулируем определение арктангенса. Арктангенсом а называется такое число из промежутка (-;), тангенс которого равен а. Часто используют равенство: arctg(-а) = -arctg а, которое справедливо для любого а. Зная определение арктангенса, сделаем общий вывод о решении уравнения tg х= a: уравнение tg х = a имеет решение х = arctg а + πk. Рассмотрим примеры. ПРИМЕР 1.Вычислить arctg. Решение. Пусть arctg = х, тогда tgх = и хϵ (- ;). Показать таблицу значений Следовательно, х =, так как tg = и ϵ (- ;). Итак, arctg =. ПРИМЕР 2. Вычислить arctg (-). Решение. Используя равенство arctg(- а) = - arctg а, запишем: arctg(-) = - arctg . Пусть - arctg = х, тогда - tgх = и хϵ (- ;). Следовательно, х =, так как tg = и ϵ (- ;). Показать таблицу значений Значит - arctg=- tgх= - . ПРИМЕР 3. Решить уравнение tgх = 1. 1. Запишем формулу решений: х = arctg 1 + πk. 2. Найдем значение арктангенса так как tg = . Показать таблицу значений Значит arctg1= . 3. Поставим найденное значение в формулу решений: ПРИМЕР 4. Решить уравнение tgх = - 4,1(тангенс икс равно минус четыре целые одна десятая). Решение. Запишем формулу решений: х = arctg (- 4,1) + πk. Вычислить значение арктангенса мы не можем, поэтому решение уравнения оставим в полученном виде. ПРИМЕР 5. Решить неравенство tgх 1. Решение. Будем решать графически.
у= tgх и прямую у = 1(рис.2). Они пересекаются в точках вида х = + πk. 2. Выделим промежуток оси икс, на котором главная ветвь тангенсоиды расположена выше прямой у = 1, так как по условию tgх 1. Это интервал (;). 3. Используем периодичность функции. Своийство 2. у=tg х - периодическая функция с основным периодом π. Учитывая периодичность функции у= tgх, запишем ответ: (;). Ответ можно записать в виде двойного неравенства: Перейдем к уравнению ctg х = a. Представим графическую иллюстрацию решения уравнения для положительного и отрицательного а (рис.3). Графики функций у= ctg х и у =а а также у= ctg х и у=-а имеют бесконечно много общих точек, абсциссы которых имеют вид: х = х 1 + , где х 1 - это абсцисса точки пересечения прямой у =а с главной ветвью тангенсоиды и х 1 = arcсtg а; х = х 2 + , где х 2 - это абсцисса точки пересечения прямой у = - а с главной ветвью тангенсоиды и х 2 = arcсtg (- а). Заметим, что х 2 = π - х 1 . Значит, запишем важное равенство: arcсtg (-а) = π - arcсtg а. Сформулируем определение: арккотангенсом а называется такое число из интервала (0;π), котангенс которого равен а. Решение уравнения ctg х = a записываются в виде: х = arcсtg а + . Обратим внимание, что уравнение ctg х = a можно преобразовать к виду tg х = , за исключение, когда а = 0. Арктангенс (y = arctg
x
)
- это функция, обратная к тангенсу (x = tg
y
Арктангенс обозначается так: График функции арктангенсГрафик функции y = arctg x График арктангенса получается из графика тангенса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, множество значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арктангенса. Арккотангенс, arcctgАрккотангенс (y = arcctg
x
)
- это функция, обратная к котангенсу (x = ctg
y
). Он имеет область определения и множество значений .
Арккотангенс обозначается так: График функции арккотангенсГрафик функции y = arcctg x График арккотангенса получается из графика котангенса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккотангенса. ЧетностьФункция арктангенс является нечетной: Функция арккотангенс не является четной или нечетной: Свойства - экстремумы, возрастание, убываниеФункции арктангенс и арккотангенс непрерывны на своей области определения, то есть для всех x . (см. доказательство непрерывности). Основные свойства арктангенса и арккотангенса представлены в таблице.
Таблица арктангенсов и арккотангенсовВ данной таблице представлены значения арктангенсов и арккотангенсов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.
≈ 0,5773502691896258 ФормулыФормулы суммы и разности Выражения через логарифм, комплексные числа,
Выражения через гиперболические функцииПроизводные
Производные высших порядков
: См. Вывод производных высших порядков арктангенса и арккотангенса > > > Аналогично для арккотангенса. Пусть .
Тогда ИнтегралыДелаем подстановку x = tg
t
и интегрируем по частям: Выразим арккотангенс через арктангенс: Разложение в степенной рядПри |x| ≤ 1
имеет место следующее разложение: Обратные функцииОбратными к арктангенсу и арккотангенсу являются тангенс и котангенс , соответственно. Следующие формулы справедливы на всей области определения: Следующие формулы справедливы только на множестве значений арктангенса и арккотангенса: Использованная литература: Что такое арксинус, арккосинус? Что такое арктангенс, арккотангенс?
Внимание! К понятиям арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс учащийся народ относится с опаской. Не понимает он эти термины и, стало быть, не доверяет этой славной семейке.) А зря. Это очень простые понятия. Которые, между прочим, колоссально облегчают жизнь знающему человеку при решении тригонометрических уравнений! Сомневаетесь насчёт простоты? Напрасно.) Прямо здесь и сейчас вы в этом убедитесь. Разумеется, для понимания, неплохо бы знать, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс. Да их табличные значения для некоторых углов... Хотя бы в самых общих чертах. Тогда и здесь проблем не будет. Итак, удивляемся, но запоминаем: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс - это просто какие-то углы. Ни больше ни меньше. Бывает угол, скажем 30°. А бывает угол arcsin0,4. Или arctg(-1,3). Всякие углы бывают.) Просто записать углы можно разными способами. Можно записать угол через градусы или радианы. А можно - через его синус, косинус, тангенс и котангенс... Что означает выражение arcsin 0,4 ? Это угол, синус которого равен 0,4 ! Да-да. Это смысл арксинуса. Специально повторю: arcsin 0,4 - это угол, синус которого равен 0,4. И всё. Чтобы эта простая мысль сохранилась в голове надолго, я даже приведу разбивочку этого ужасного термина - арксинус: arc
sin
0,4
Как пишется, так и слышится.) Почти. Приставка arc означает дуга (слово арка знаете?), т.к. древние люди вместо углов использовали дуги, но это сути дела не меняет. Запомните эту элементарную расшифровку математического термина! Тем более, для арккосинуса, арктангенса и арккотангенса расшифровка отличается только названием функции. Что такое arccos 0,8 ? Что такое arctg(-1,3) ? Что такое arcctg 12 ? Такая элементарная расшифровка позволяет, кстати, избежать эпических ляпов.) Например, выражение arccos1,8 выглядит вполне солидно. Начинаем расшифровку: arccos1,8 - это угол, косинус которого равен 1,8... Скока-скока!? 1,8!? Косинус не бывает больше единицы!!! Верно. Выражение arccos1,8 не имеет смысла. И запись такого выражения в какой-нибудь ответ изрядно повеселит проверяющего.) Элементарно, как видите.) У каждого угла имеется свой персональный синус и косинус. И почти у каждого - свой тангенс и котангенс. Стало быть, зная тригонометрическую функцию, можно записать и сам угол. Для этого и предназначены арксинусы, арккосинусы, арктангенсы и арккотангенсы. Далее я всю эту семейку буду называть уменьшительно - арки. Чтобы печатать меньше.) Внимание! Элементарная словесная и осознанная расшифровка арков позволяет спокойно и уверенно решать самые различные задания. А в непривычных заданиях только она и спасает. А можно переходить от арков к обычным градусам или радианам? - слышу осторожный вопрос.) Почему - нет!? Легко. И туда можно, и обратно. Более того, это иногда нужно обязательно делать. Арки - штука простая, но без них как-то спокойнее, правда?) Например: что такое arcsin 0,5? Вспоминаем расшифровку: arcsin 0,5 - это угол, синус которого равен 0,5. Теперь включаем голову (или гугл)) и вспоминаем, у какого угла синус равен 0,5? Синус равен 0,5 у угла в 30 градусов . Вот и все дела: arcsin 0,5 - это угол 30°. Можно смело записать: arcsin 0,5 = 30° Или, более солидно, через радианы: Всё, можно забыть про арксинус и работать дальше с привычными градусами или радианами. Если вы осознали, что такое арксинус, арккосинус... Что такое арктангенс, арккотангенс... То легко разберётесь, например, с таким монстром.) Несведущий человек отшатнётся в ужасе, да...) А сведущий вспомнит расшифровку: арксинус - это угол, синус которого... Ну и так далее. Если сведущий человек знает ещё и таблицу синусов... Таблицу косинусов. Таблицу тангенсов и котангенсов, то проблем вообще нет! Достаточно сообразить, что: Расшифрую, т.е. переведу формулу в слова: угол, тангенс которого равен 1 (arctg1) - это угол 45°. Или, что едино, Пи/4. Аналогично: и всё... Заменяем все арки на значения в радианах, всё посокращается, останется посчитать, сколько будет 1+1. Это будет 2.) Что и является правильным ответом. Вот таким образом можно (и нужно) переходить от арксинусов, арккосинусов, арктангенсов и арккотангенсов к обычным градусам и радианам. Это здорово упрощает страшные примеры! Частенько, в подобных примерах, внутри арков стоят отрицательные значения. Типа, arctg(-1,3), или, к примеру, arccos(-0,8)... Это не проблема. Вот вам простые формулы перехода от отрицательных значений к положительным: Нужно вам, скажем, определить значение выражения: Это можно и по тригонометрическому кругу решить, но вам не хочется его рисовать. Ну и ладно. Переходим от отрицательного значения внутри арккосинуса к положительному по второй формуле: Внутри арккосинуса справа уже положительное значение. То, что вы просто обязаны знать. Остаётся подставить радианы вместо арккосинуса и посчитать ответ: Вот и всё. Ограничения на арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.С примерами 7 - 9 проблема? Ну да, есть там некоторая хитрость.) Все эти примеры, с 1-го по 9-й, тщательно разобраны по полочкам в Разделе 555. Что, как и почему. Со всеми тайными ловушками и подвохами. Плюс способы резкого упрощения решения. Кстати, в этом разделе много полезной информации и практических советов по тригонометрии в целом. И не только по тригонометрии. Очень помогает. Если Вам нравится этот сайт...Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.) Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!) можно познакомиться с функциями и производными. |
Новое
- Самые короткие басни крылова которые легко учатся
- Ты сер, а я, приятель, сед Анализ басни Волк на псарне
- Главный пограничник советского союза
- День образования военной инспекции минобороны рф Военная инспекция министерства обороны российской федерации
- Причины восстания черниговского полка
- Азот и его соединения Союз азота с алюминием 6 букв
- Консультация для родителей "Детям о космосе" консультация (подготовительная группа) на тему Дети должны знать и называть
- Андрей Фурсов «Вперед, к победе!
- Сравнительный оборот с союзом «чем …, тем …» с примерами
- Уральские рабочие в армии колчака